ЗАДАНИЯ НА КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ И ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Перед выполнением контрольной работы студент должен ознакомиться с содержанием разделов рабочей программы, на освоение которых ориентирована выполняемая контрольная работа.

Студент выполняет те задачи, последняя цифра номера которых совпадает с последней цифрой его учебного шифра. Например, студент, учебный шифр которого имеет последнюю цифру 3, в контрольной работе №1 решает задачи 3,13, 23, 43, 53; и т.д. в каждой контрольной работе.

Каждая контрольная работа выполняется в отдельной тетради, обложка которой должна быть оформлена согласно приложению (см. в конце заданий на контрольную работу). В конце работы студент ставит свою подпись и дату выполнения работы.

В каждой задаче надо полностью выписать ее условие. В том случае, когда несколько задач имеют общую формулировку, следует, переписывая условие задачи, заменить общие данные конкретными, взятыми из соответствующего номера.

Решение каждой задачи должно содержать подробные вычисления, пояснения, ответ, а также, в случае необходимости, и рисунки. После каждой задачи следует оставлять место для замечаний преподавателя–рецензента. В случае невыполнения этих требований преподаватель возвращает работу для доработки без ее проверки.

Задания на контрольные работы

Контрольная работа № 1

Элементы векторной, линейной алгебрыи аналитической геометрии

Задача 1.

1 – 10. Даны координаты вершин пирамиды А1, А2, А3, А4. Найти:

1) угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3;

2) площадь грани А1А2А3;

3) объем пирамиды;

4) уравнения прямой А1А2;

5) уравнение плоскости А1А2А3;

6) уравнения высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3 .

Сделать чертеж.

1. А1 (4; 2; 5), А2 (0; 7; 2), А3 (0; 2; 7), А4 (1; 5; 0) .

2. А1 (4; 4; 10), А2 (4; 10; 2), А3 (2; 8; 4), А4 (9; 6; 4) .

3. А1 (4; 6; 5), А2 (6; 9; 4), А3 (2; 10; 10), А4 (7; 5; 9) .

4. А1 (3; 5; 4), А2 (8; 7; 4), А3 (5; 10; 4), А4 (4; 7; 8) .

5. А1 (10; 6; 6), А2 (–2; 8; 2), А3 (6; 8; 9), А4 (7; 10; 3) .

6. А1 (1; 8; 2), А2 (5; 2; 6), А3 (5; 7; 4), А4 (4; 10; 9) .

7. А1 (6; 6; 5), А2 (4; 9; 5), А3 (4; 6; 11), А4 (6; 9; 3) .

8. А1 (7; 2; 2), А2 (5; 7; 7), А3 (5; 3; 1), А4 (2; 3; 7) .

9. А1 (8; 6; 4), А2 (10; 5; 5), А3 (5; 6; 8), А4 (8; 10; 7) .

10. А1 (7; 7; 3), А2 (6; 5; 8), А3 (3; 5; 8), А4 (8; 4; 1) .

Задача 2.

11 – 20.

11. Прямые 2х+у–1 = 0 и 4х–у–11=0 являются сторонами треугольника, а точка Р(1; 2) – точкой пересечения третьей стороны с высотой, опущенной на нее. Составить уравнение третьей стороны. Сделать чертеж.

12. Прямая 5х–3у+4 = 0 является одной из сторон треугольника, а прямые 4х–3у+2 = 0 и 7х+2у–13 = 0 его высотами. Составить уравнения двух других сторон треугольника. Сделать чертеж.

13. Точки А (3; –1) и В (4; 0) являются вершинами треугольника, а точка D (2; 1) – точкой пересечения его медиан. Составить уравнение высоты, опущенной из третьей стороны. Сделать чертеж.

14. Прямые 3х–4у+17 = 0 и 4х–у–12 = 0 являются сторонами параллелограмм, а точка Р (2; 7) – точкой пересечения его диагоналей. Составить уравнения двух других сторон параллелограмм. Сделать чертеж.

15. Прямые х–2у+10 = 0 и 7х+у–5 = 0 являются сторонами треугольника, а точка D (1; 3) – точкой пересечения его медиан. Составить уравнение третьей стороны. Сделать чертеж.

16. Прямые 5х–3у+14 = 0 и 5х–3у–20 = 0 являются сторонами ромба, а прямая х–4у–4 = 0 – его диагональю. Составить уравнения двух других сторон ромба. Сделать чертеж.

17. На прямой 4х+3у–6=0 найти точку, равноудаленную от точек А (1; 2) и В (–1; –4). Сделать чертеж.

18. Найти координаты точки, симметричной точке А (5; 2) относительно прямой х+3у–1=0. Сделать чертеж.

19. Прямые х–3у+3=0 и 3х+5у+9=0 являются сторонами параллелограмм, а точка Р (34; –1) – точкой пересечения его диагоналей.

20. Точки А (4; 5) и С (2; –1) являются двумя противоположными вершинами ромба, а прямая х–у+1=0 – одной из его сторон. Составить уравнения остальных сторон ромба. Сделать чертеж.

Задача 3.

21 – 30. Линия задана уравнением r = r (j) в полярной системе координат. Требуется: 1) построить линию по точкам, начиная от j = 0 до j=2p и придавая j значения через промежуток ; 2) найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; 3) назвать линию, найти координаты фокусов и эксцентриситет.

21.		22.
23.		24.
25.		26.
27.		28.
29.		30.

Задача 4.

31 – 40. Даны векторы в некотором базисе.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

Задача 5.

41 – 50. Дана матрица А. Найти матрицу А–1 обратную данной. Сделать проверку, вычислив произведение А . А–1 . Решить задачу а) воспользовавшись определением обратной матрицы. б) по методу Жордана–Гаусса.

41.		42.
43.		44.
45.		46.
47.		48.
49.		50.

Задача 6.

51 – 60. Применяя метод исключения неизвестных (метод Гаусса), решить систему линейных уравнений.

51.		52.
53.		54.
55.		56.
57.		58.
59.		60.

Контрольная работа № 2

Введение в математический анализ. Производная и ее приложения

Задача 1.

61 – 70. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

61.

62.

в) г) д)

63.

в) г) д)

64. а) б)

в) г) д)

65. а) б)

в) г) д)

66. а) б)

в) г) д)

67. а) б)

в) г) д)

68. а) ; б)

в) г) д)

69. а) б) class="lazyload" data-src="/files/uch_group46/uch_pgroup327/uch_uch1271/image/4812.gif">

б) г) д)

70. а) б)

б) г) д)

Задача 2.

71 – 80. Задана функция y=f(x). Установить, является ли данная функция непрерывной. В случае разрыва функции в некоторой точке найти ее пределы слева и справа, классифицировать характер разрыва. Построить схематично график функции.

71.		72.
73.		74.
75.		76.
77.		78.
79.		80.

Задача 3.

81 – 90. Найти производные следующих функций.

81.

82.

в)

83. а) б) y = arcctg [exp(5x)] ;

в) x = sin23t, y = cos23t .

84.

в) x = t4 + 2t, y = t2 + 5t .

85.

в) x = t – ln sint, y = t + ln cost .

86. a) б) y = exp(cos3x) .

в) x = tg t ,

87. a) б) y = 3x exp(–x–2) ;

в) x = t2 – t3 , y = 2t3 .

88. а) y = ln cos2x – ln sin2x ; б)

в) x = cos3t , y = sin3t .

89. a) б)

в) x = 3sint, y = 3cos2t .

90.

в) x = 2t – t2 , y = 2t3 .

Задача 4.

91 – 100. Найти пределы функции, применяя правило Лопиталя.

91.		92.
93.		94.
95.		96.
97.		98.
99.		100.

Задача 5.

101 – 110. Методами дифференциального исчисления: а) исследовать функцию y = f(x) для и по результатам исследования построить ее график; б) Найти наименьшее и наибольшее значения заданной функции на отрезке [a; b].

101. а) б) [–3; 3] .

102. а) б) [–1; 1] .

103. а) б) [–2; 2 ] .

104. а) б) [–2; 2] .

105. а) б) [ 1; 4] .

106. а) б) [ 0; 1] .

107. а) б) [ 1; 9] .

108. а) б) [–1; 1] .

109. а) б) [–2; 2] .

110. а) б) [–2; 2] .

Контрольная работа № 3

Неопределенный и определенный интегралы

Задача 1.

111 – 120. Найти неопределенные интегралы. В случаях а), б), в) результат проверить дифференцированием.

111.

д) .

112.

д)

113.

д)

114. а) б)

в) г)

д)

115. а) б)

в) г)

д)

116. а) б)

в) г)

д)

117. а) б)

в) г)

д)

118. а) б)

в) г)

д)

119. а) б)

в) г)

д)

120. а) б)

в) г)

д)

Задача 2.

121 – 130. Вычислить определенные интегралы.

121.		122.
123.		124.
125.		126.
127.		128.
129.		130.

Задача 3.

131 – 140. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится.

131.		132.
133.		134.
135.		136.
137.		138.
139.		140.

Задача 4.

141 – 150. Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями. Сделать чертеж.

141.		142.
143.		144.	,
145.	,	146.	,
147.	,	148.	,
149.	,	150.	,

Задача 5.

151 – 160. Вычислить приближенное значение определенного интеграла с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок инегрирования на 10 частей. Все вычисления проводить с округлением до третьего десятичного знака.

151.		152.
153.		154.
155.		156.
157.		158.
159.		160.

Контрольная работа № 4

Функции нескольких переменных. Кратные интегралы

Задача 1.

161 – 170. Дана функция двух переменных . Найти все частные производные первого и второго порядков.

161.		162.
163.		164.
165.		166.
167.		168.
169.		170.

Задача 2.

171 – 180. Даны функция и точка . С помощью полного дифференциала вычислить приближенно значение функции в данной точке. Вычислить точное значение функции в точке и оценить относительную погрешность вычислений.

171.		172.
173.		174.
175.		176.
177.		178.
179.		180.

Задача 3.

181 – 190. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f (x; y) в ограниченной замкнутой области D. Область D изобразить на чертеже.

181. Z = x2 – y2 + 3xy + 7; D: –2 £ x £ 2, –2 £ y £ 2.

182. Z = x2 + 2y2 – 1; D: x ? –2, y ? –2, x + y £ 4.

183. Z = 3 – x2 – xy – y2; D: x £ 1, y ? –1, x +1 ? y.

184. Z = x2 + y2 + x – y; D: x ? 1, y ? –1, x + y £ 2.

185. Z = x2 +2xy +2y2; D: –1 £ x £ 1, –1 £ y £ 3.

186. Z = 3x2 – 3xy +y2 + 1; D: x ? –1, y ? –1, x + y £ 1.

187. Z = 5 + 2xy – x2; D: –1 £ y £ 4 – x2.

188. Z = x2 – 2xy – y2 + x; D: x £ 0, y £ 1, x + y + 2 ? 0.

189. Z = x2 – xy – 2; D: 4x2 – 4 £ y £ 1.

190. Z = x2 + xy + 3y2; D: –1 £ x £ 1, –1 £ y £ 1.

Задача 4.

191 – 200. Даны: функция трех переменных , точка и вектор .

Найти:

1) grad u в точке М0;

2) производную в точке М0 по направлению вектора ;

3) наибольшую крутизну поверхности в точке М0.

191. M0 (1; –2; 1); (–1; 2; 2).

192. u = ln|3x2 – 2y + z|; M0 (1; 1; 0); (0; 4; 3).

193. M0 (1; 1; 2); (–3; 0; 4).

194. M0 (1; 2; 2); (3; 0; –4).

195. M0 (2; 2; 1); (1; –2; 2).

196. u = ln|10 – x2 – y2 – z2|; M0 (2; 2; 1); (–4; 0; 3).

197. M0 (3; 4; 0); (2; –1; 2).

198. u = x2y2 + x2z2 + y2z; M0 (–1; 2; 1); (0; 6; 8).

199. M0 (3; 4; 0); (2; 2; –1).

200. u = ln|12 – x2 – y2 + z|; M0 (1; 1; –5); (3; 0; –4).

Задача 5.

201 – 210. Вычислить двойной интеграл по области D . Область интегрирования D изобразить на чертеже. Решить задачу вторым способом поменяв порядок интегрирования.

201. D : y = x2 , y = 2 – x2 .

202. D : x = 1 , y = x2 , y = 0 .

203. D : y = x , y = x3 , x ? 0 .

204. D : y = x2 , y = .

205. D : x = 1 , y = , y = –x2 .

206. D : x = 1 , y = x2 , y = 0 .

207. D : y = x2 , y = .

208. D : x = 1 , y = y = –x3 .

209. D : y = x , y = .

210. D : x = 1 , y = x2 , y = –.

Задача 6.

211 – 220. Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного данными поверхностями. Сделать чертежи данного тела и его проекции на плоскость хОу.

211. z = 0, z – x = 0, y = 0, y = 4,

212. z = 0, z – 4= 0, x = 0, x + y = 4.

213. z = 0, z – 9 + y2 = 0, x2 + y2 = 9.

214. z = 0, z – 1 + x2 = 0, y = 0, y = 3 – x.

215. z = 0, y + z – 2 = 0, x2 + y2 = 4.

216. z = 0, z – 1 + y2 = 0, x = y2, x = 2y2 + 1.

217. z = 0, 4z – y2 = 0, 2x – y = 0, x + y = 9.

218. z = 0, x2 + y2 – z = 0, x2 + y2 = 4.

219. z = 0, z – y2 = 0, x2 + y2 = 9.

220. z = 0, z – 4 + x + y = 0, x2 + y2 = 4.

Контрольная работа № 5

Дифференциальные уравнения и системы

Задача 1.

221 – 230. Найти решения дифференциальных уравнений первого порядка, удовлетворяющие указанным начальным условиям. Сделать проверку.

221. у(1) = 0.

222. xy| + xey/x – y = 0, y(1) = 1 .

223. 20xdx – 3ydy = 3x2ydy – 5xy2dx, y(1) = 1.

224. xy | = y ln (y/x), y(1) = e.

225. 3(x2y + y)dy += 0, y(0) = 0.

226. xy| + y = x + 1, y(1) = 0.

227. y| cosx = (y + 1)sinx, y(0) = 0.

228. xy| – y = y(1) = 0.

229. y| – y/x = x2, y(1) = 0.

230. y| + ycosx = y(0) = 0.

Задача 2.

231 – 240. Решить дифференциальные уравнения второго порядка: а) найти общее решение; б) найти решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям. Сделать проверку.

231. а) .

б) . , .

232. а) .

б). , .

233. а) .

б). , .

234. а)

б). , .

235. a)

б). , .

236. а)

б). , .

237. а) .

б). , .

238. а) .

б). , .

239. а) .

б). , .

240. а) .

б). , .

Задача 3.

241 – 250.

241. Найти закон движения материальной точки массы m, если известно, что работа силы, действующей в направлении движения, пропорциональна пути от начала этого движения (коэффициент пропорциональности k).

242. Лодка пущена со скоростью 4 км/ч через реку и прибыла на другой берег со скоростью 2 км/ч через 6 мин. Сила сопротивления воды пропорциональна квадрату скорости. Найти закон движения лодки и ширину реки.

243. У моторного судна при скорости 10 км/ч отключается мотор. Отрицательное ускорение, сообщаемое лодке сопротивлением воды, пропорционально скорости. Найти закон движения лодки.

244. Сила упругости, возникающая при растяжении пружины, пропорциональна увеличению ее длины и равна 1 Н, когда длина пружины увеличивается на 1 см. Найти закон движения груза, если его оттянуть книзу, а затем отпустить.

245. Кривая проходит через точку А(1; –2) и обладает тем свойством, что угловой коэффициент касательной в любой ее точке пропорционален квадрату ординаты точки касания с коэффициентом пропорциональности k = 2. Найти уравнение кривой.

246. Поезд, масса которого вместе с тепловозом равна М, движется прямолинейно. Сила тяги тепловоза постоянна и равна F. Сила f сопротивления движению поезда пропорциональна скорости движения. Найти закон движения поезда, если при t = 0, U = 0.

247. Локомотив весом р движется по некоторому участку пути со скоростью 60 км/ч. Через какой промежуток времени и на каком расстоянии от начала торможения он будет остановлен, если сила сопротивления движению при торможении равна 0,2 веса локомотива.

248. Вагоновожатый трамвая, включая реостат, постепенно увеличивает мощность двигателя так, что сила тяги возрастает от нуля пропорционально времени, увеличиваясь на 120 Н в секунду. Найти закон движения трамвая при следующих данных: 1) масса вагона М = 10 т; 2) сопротивление трению постоянно и равно 200 Н; 3) начальная скорость равна нулю.

249. Материальная точка массой m = 2 г погружается в жидкость, сила сопротивления которой пропорциональна скорости погружения с коэффициентом пропорциональности k = 0,002 кг/с. Найти скорость точки через 1 с после начала погружения, если в начальный момент она была равна нулю.

250. Скорость химической реакции, при которой разлагается данное вещество, пропорциональна количеству неразложившегося вещества. Через час после начала реакции осталось 36 г неразложившегося вещества, а через 3 час – 9 г. Сколько вещества было взято первоначально?

Задача 4.

251 – 260. Найти общее решение системы линейных дифференциальных уравнений. Сделать проверку найденного решения.

251.		252.
253.		254.
255.		256.
257.		258.
259.		260.