Схема исследования функций

Процесс исследования функции состоит из нескольких этапов. Для наиболее полного представления о поведении функции и характере ее графика необходимо отыскать:

1) Область существования функции.

Это понятие включает в себя и область значений и область определения функции.

2) Точки разрыва. (Если они имеются).

3) Интервалы возрастания и убывания.

4) Точки максимума и минимума.

5) Максимальное и минимальное значение функции на ее области определения.

6) Области выпуклости и вогнутости.

7) Точки перегиба.(Если они имеются).

8) Асимптоты.(Если они имеются).

9) Построение графика.

Применение этой схемы рассмотрим на примере.

Пример. Исследовать функцию и построить ее график.

Находим область существования функции. Очевидно, что областью определения функции является область (–¥; –1) È (–1; 1) È (1; ¥).

В свою очередь, видно, что прямые х = 1, х = –1 являются вертикальными асимптотами кривой.

Областью значений данной функции является интервал (–¥; ¥).

Точками разрыва функции являются точки х = 1, х = –1.

Находим критические точки.

Найдем производную функции

Критические точки: x = 0; x = –; x = ; x = –1; x = 1.

Найдем вторую производную функции

.

Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках.

–¥ < x < –, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

– < x < –1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

–1 < x < 0, y¢¢ > 0, кривая вогнутая

0 < x < 1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

1 < x < , y¢¢ > 0, кривая вогнутая

< x < ¥, y¢¢ > 0, кривая вогнутая

Находим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого определяем знаки производной функции на промежутках.

–¥ < x < –, y¢ > 0, функция возрастает

– < x < –1, y¢ < 0, функция убывает

–1 < x < 0, y¢ < 0, функция убывает

0 < x < 1, y¢ < 0, функция убывает

1 < x < , y¢ < 0, функция убывает

< x < ¥, y¢¢ > 0, функция возрастает

Видно, что точка х = – является точкой максимума, а точка х = является точкой минимума. Значения функции в этих точках равны соответственно –3/2 и 3/2.

Про вертикальные асимптоты было уже сказано выше. Теперь найдем наклонные асимптоты.

Итого, уравнение наклонной асимптоты – y = x.

Построим график функции: