Решение задач

Пример1 Вычислить по формуле прямоугольников определенный интеграл . Оценить погрешность вычислений.

Решение:

Положим n=10, т.е.

Вычислим значение функции в точках разбиения:

X0=1

X1=1,1

X2=1,2

X3=1,3

X4=1,4

X5=1,5

X6=1,6

X7=1,7

X8=1,8

X9=1,9

Сумма 7,18773

По формуле (-) получаем:

.

Полученное значение больше истинного, т.к. кривая обращена к оси x своей выпуклостью.

Вычислим остаточный член по формуле (-). Для этого предварительно определяем первую производную подынтегральной функции:

представляет собой убывающую функцию и следовательно максимальное значение принимает при меньшем x из заданного интервала , т.е.

.

Подставляя в формулу (-), окончательно получаем:

.

Ошибка округления существенно меньше полученного R и, следовательно, её можно не учитывать.

Окончательно получаем:

.

Вычисление по методу прямоугольников значение определенного интеграла оказалось достаточно грубым. Для получения более точного результата следует уменьшить шаг разбиения.

Пример2 Вычислить по формуле трапеций определенный интеграл . Определить погрешность вычислений.

Решение:

Положим n=10. воспользуемся вычисленным в примере 1 значениями функциями в точках разбиения. По формуле (-) найдем значение определенного интеграла:

=0,1*(*1*0,90909+0,83333+0,76923+0,71429+0,66667+

+0,625+0,55556+0,58824+0,52632+)=0,69377.

Оценим погрешность вычислений. Полная погрешность R0 складывается из погрешности арифметических действий и остаточного члена R.

,

где -коэффициенты формулы трапеции и - максимальная ошибка округления значений подынтегральной функции.

.

Остаточный член оценим по формуле (-), предварительно определив максимальное значение второй производной функции на заданном интервале интегрирования.

;

.

- убывающая функция, на интервале наибольшее значение имеет в точке x =1.

.

По формуле (-) получаем:

.

существенно меньше R, поэтому можно считать .

С учетом точного решения заданного определенного интеграла, абсолютная погрешность численного интегрирования методом трапеций:

0,69377-0,69315=0,00062class="lazyload" data-src="/files/uch_group46/uch_pgroup327/uch_uch1421/image/589.gif"> … 0 … 1 … 2 … … … … … … … … … … … … … … …

Пример 5 Составить горизонтальную таблицу разностей функции

Начальное значение принять равным нулю: , шаг равным единице: .

Решение:

Вычислим значения функции в некоторых узловых точках. При:

X0=0 y0=03-02+6·0-4=-4

X1=1 y1=13-12+6∙1-4=2

X2=2 y2=23-22+6·2-4=12

X3=3 y3=33-32+6∙3-4=32

X4=4 y4=43-42+6·4-4=68

X5=5 y5=53-52+6·5-4=126

…….. ………………………….

По формулам вычислим конечные разности различных порядков и занесем их в таблицу

Данная функция является полиномом третьей степени, поэтому третья разность постоянна и вычисляется по формуле (-):

.

Дальнейшее заполнение таблицы удобно производить при помощи суммирования уже вычисленных значений величин.

Согласно формулам (3.19):

Отсюда:

Таким образом, столбец получается добавлением значения третьей разности (числа 6) к каждому вышестоящему элементу.

Для формирования столбца из получаем формулу:

Каждый элемент столбца представляет собой сумму вышестоящего числа в этом столбце и соседнего с ним в столбце . (См. стрелку в таблице.)

Используя формулы, для элементов столбца y получаем выражение, существенно облегчающее вычисление значений функции в узловых точках:

Правило заполнения столбца y такое же, как у столбца .

Ступенчатой ломанной отмечены исходные данные, необходимые для заполнения таблицы по указанным правилам.

x	y
0	-4	6	4	6
1	2	10	10	+6
2	12	20	+16	6
3	32	+36	22	6
4	68	58	28	6
5	126	86	34	6
6	212	120	40	6
…	…	…	…	…

Пример 6 Найти производную функции, заданной таблично в точке .

Значения функции.

Решение:

Здесь шаг .

Заполним таблицу разностей:

i	x	y
0	30	1,4771	0.0670	-0,0090	0,0021	-0,0005
1	35	1,5441	0,0580	-0,0069	0,0016
2	40	1,6021	0,0511	-0,0053
3	45	1,6532	0,0458
4	50	1,6990

Отметим, что на практике таблицу конечных разностей заполняют сразу по правилам разобранных в примере -. Вычисление разностей по формулам (-) мы привели в качестве проверки.

По формуле (-), используя первую строчку таблицы, с точностью до разностей четвертого порядка, получаем:

.

Оценим точность найденного значения. Заданная таблично функция есть . Производная этой функции:

.

При получим:

.

Таким образом, результаты совпали с точностью до четвертого десятичного знака.

Пример 7

По табличным данным найти аналитическое выражение производной.

	0	1	2	3	4	5
	10,4	16	20,8	24,8	28	30,4

Решение:

Составим таблицу конечных разностей, обозначив :

0	0	10,4	5,6	-0,8	0
1	1	16	4,8	-0,8	0
2	2	20,8	4	-0,8	0
3	3	24,8	3,2	-0,8
4	4	28	2,4
5	5	30,4

Воспользуемся интерполяционной формулой Ньютона в форме (-):

Слагаемое, содержащее третью конечную разность не записываем, т.к. .

Учтем, что .

По таблице определяем: .

Следовательно,.

,

,

.