Расстояние от точки до плоскости.
Расстояние от произвольной точки М0(х0, у0, z0) до плоскости Ах+Ву+Сz+D=0 равно:
id="Рисунок 777" class="lazyload" data-src="/files/uch_group46/uch_pgroup327/uch_uch1271/image/257.gif">
Пример.
Найти уравнение плоскости, зная, что точка Р(4; –3; 12) – основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.
Таким образом, A = 4/13; B = –3/13; C = 12/13, воспользуемся формулой:
A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0.
Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через две точки P(2; 0; –1) и
Q(1; –1; 3) перпендикулярно плоскости 3х + 2у – z + 5 = 0.
Вектор нормали к плоскости 3х + 2у – z + 5 = 0 
параллелен искомой плоскости.
Получаем:
Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки А(2, –1, 4) и
В(3, 2, –1) перпендикулярно плоскости х + у + 2z – 3 = 0.
Искомое уравнение плоскости имеет вид: Ax + By + Cz + D = 0, вектор нормали к этой плоскости 
(A, B, C). Вектор 
(1, 3, –5) принадлежит плоскости. Заданная нам плоскость, перпендикулярная искомой имеет вектор нормали 
(1, 1, 2). Т.к. точки А и В принадлежат обеим плоскостям, а плоскости взаимно перпендикулярны, то
Таким образом, вектор нормали (11, –7, –2).
Итого, получаем уравнение плоскости: 11x – 7y – 2z – 21 = 0.
Пример. Найти уравнение плоскости, зная, что точка Р(4, –3, 12) – основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.
Находим координаты вектора нормали 
= (4, –3, 12). Искомое уравнение плоскости имеет вид: 4x – 3y + 12z + D = 0. Для нахождения коэффициента D подставим в уравнение координаты точки Р:
16 + 9 + 144 + D = 0
D = –169
Итого, получаем искомое уравнение: 4x – 3y + 12z – 169 = 0
Пример. Даны координаты вершин пирамиды А1(1; 0; 3), A2(2; –1; 3), A3(2; 1; 1),
A4(1; 2; 5).
1) Найти длину ребра А1А2.
2) Найти угол между ребрами А1А2 и А1А4.
3) Найти угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3.
Сначала найдем вектор нормали к грани А1А2А3 
как векторное произведение векторов 
и
.
= (2–1; 1–0; 1–3) = (1; 1; –2);
Найдем угол между вектором нормали и вектором 
.
–4 – 4 = –8.
Искомый угол g между вектором и плоскостью будет равен g = 900 – b.
4) Найти площадь грани А1А2А3.
5) Найти объем пирамиды.
(ед3).
6) Найти уравнение плоскости А1А2А3.
Воспользуемся формулой уравнения плоскости, проходящей через три точки.
2x + 2y + 2z – 8 = 0
x + y + z – 4 = 0;