§5. Правила сложения вероятностей
Теорема 1. Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий:
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)
Эта теорема с помощью верна и для нахождения вероятности суммы попарно несовместных k-событий А1, А2,…, Ак:
Р(А1 + А2 + … + Ак)=Р(А1) + Р(А2) + … + Р(Ак).
Следствие 1. Если события А, В, С,…, М образуют полную группу несовместных событий, то сумма вероятностей этих событий равна единице.
Так как эти события образуют полную группу, то их сумма представляет собой достоверное событие (т.е наступит хотя бы одно из них); но вероятность достоверного события равна 1, т.е.
Р(А) + Р(В) + Р(С) + … + Р(М) = 1.
Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий А и 
равна единице:
Так как события А и несовместны, а событие А + есть достоверное событие, поэтому 
, что и приводит к соотношению 
С помощью доказанной теоремы мы можем справиться со многими задачами.
Пример 1. На клумбе растут 20 красных, 30 синих и 40 белых астр. Какова вероятность сорвать в темноте окрашенную астру, если рвется одна астра?
Решение. Обозначим события:
А –– «сорвана окрашенная астра»;
А1 –– «сорвана красная астра»;
А2 –– «сорвана синяя астра»;
Имеем:
А = А1 + А2;
Р(А) = Р(А1 + А2) = Р(А1) + Р(А2) =
Пример 2. В отдел уголовного розыска поступило сообщение, что 5 неизвестных лиц взломали сейф кассы колхоза и похитили крупную сумму денег.
Свидетели успели заметить, что грабители сели в автобус, следующий по маршруту в соседний город. Об этом была поставлена в известность милиция. Как только автобус остановился на автовокзале, к его дверям подошел инспектор уголовного розыска и запретил водителю открывать двери. Тот сообщил водителю, что в автобусе 40 пассажиров. Обыск может привести к значительной задержке автобуса. Инспектор успокоил водителя, сказав: «Мне достаточно проверить 6 пассажиров и можете ехать дальше!» Он предложил шестерым наугад выбранным пассажирам пройти в кабинет начальника вокзала.Один преступник был сразу обнаружен. Он назвал сообщников.
Что руководило инспектором: риск, или трезвый расчет?
Решение. Обозначим события:
А –– «среди случайно вызванных 6 пассажиров есть хотя бы один преступник»;
Аi –– «среди случайно вызванных 6 пассажиров есть i преступников» (i=1, 2, 3, 4, 5). Тогда:
А = А1 + А2 + А3 + А4 + А5. Ясно, что
Р(А) = Р(А1) + Р(А2) + Р(А3) + Р(А4) + Р(А5).
Имеем:
Значит, 
Вероятность того, что среди 6 пассажиров окажется по крайней мере один преступник, оказывается больше 
. По–видимому, инспектор умел пользоваться теорией вероятностей.
Теорема 2. Вероятность суммы двух совместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения:
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ).
Доказательство. Пусть из всего числа n элементарных событий k благоприятствуют событию А, l – событию B и m –– одновременно событиям А и В. Отсюда событию А + В благоприятствуют k + l – m элементарных событий.
Тогда:
Пример 3. Бросают две игральные кости. Какова вероятность появления хотя бы одной шестерки?
Решение. Обозначим события:
А –– «появление шестерки при бросании первой кости»;
В –– «появление шестерки при бросании второй кости»;
Нам надо найти вероятность события С = А + В.
Р(С) = Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ).
Ясно, что 
тогда 