Перечень вопросов к зачету на втором курсе

1. Задачи, приводящие к обыкновенным дифференциальным уравнениям.

2. Обыкновенные дифференциальные уравнения (основные понятия и определения). Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка.

3. Основные классы уравнений первого порядка, интегрируемые в квадратурах: уравнения с разделяющимися переменными, однородные, линейные, уравнения Бернулли, уравнения в полных дифференциалах.

4. Геометрическая интерпретация решений дифференциальных уравнений первого порядка.

5. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Уравнения, допускающие понижение порядка.

6. Линейные дифференциальные уравнения. Понятие однородного и неоднородного уравнения. Линейные однородные дифференциальные уравнения. Система фундаментальных решений. Общее решение. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.

7. Нормальные системы обыкновенных дифференциальных уравнений, векторная форма их записи. Задача Коши. Метод исключения.

8. Нормальные системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Структура общего решения. Решение в случае действительных различных корней характеристического уравнения.

9. Понятие устойчивости решения системы дифференциальных уравнений по Ляпунову. Устойчивость решения системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Типы точек покоя для системы двух уравнений.

10. Автономные нелинейные автономные системы. Понятие о функции Ляпунова. Формулировка теоремы Ляпунова об устойчивости.

11. Понятие об уравнениях в частных производных. Решение линейных уравнений первого порядка в частных производных.

12. Уравнение колебаний струны. Решение задачи Коши методом Даламбера и методом разделения переменных.

13. Уравнение теплопроводности. Метод Фурье решения задачи Коши.

14. Уравнение Лапласа. Решение задачи Дирихле в круге методом Фурье.

15. Разностные уравнения первого и второго порядка. Примеры разностных схем. Общее решение неоднородного разностного уравнения второго порядка. Понятие о методе сеток решения краевых задач математической физики.

16. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости. Действия со сходящимися рядами.

17. Числовые ряды с положительными членами. Достаточные признаки сходимости: сравнения, Даламбера, радикальный признак Коши, интегральный признак Коши.

18. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

19. Функциональные ряды. Область сходимости. Понятие равномерной сходимости. Теорема Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов.

20. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости. Основные свойства степенных рядов.

21. Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора для функций: , , , , , .

22. Применение степенных рядов к приближенным вычислениям: вычисление значений функций, вычисление пределов, вычисление определенных интегралов.

23. Измеримые множества и измеримые функции.

24. Интеграл Лебега. Пространства суммируемых функций.

25. Ортогональные системы функций. Тригонометрическая система ортогональных функций.

26. Ряд Фурье. Разложение в ряд Фурье. Формулировка условий разложимости в точке. Условие равномерной сходимости.

27. Ряды Фурье для функций с произвольным переходом. Ряды Фурье для четных и нечетных функций.

28. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье, его свойства и применение.

29. Функции комплексного переменного. Важнейшие элементарные функции комплексного переменного.

30. Производная функции комплексного переменного. Условия Коши–Римана. Дифференцируемость элементарных функций.

Перечень вопросов к экзамену на втором курсе

1. Аналитические функции. Геометрический смысл модуля и аргумента производной аналитической функции.

2. Интегрирование по комплексному аргументу. Теорема Коши. Интегральная формула Коши.

3. Ряды Тейлора и Лорана. Изолированные особые точки функций, их классификация.

4. Вычеты. Основная теорема о вычетах. Применение вычетов к вычислению интегралов.

5. Преобразование Лапласа. Оригинал и изображение. Свойства изображений. Таблица изображений простейших функций.

6. Теорема о свертке, теорема запаздывания, теорема о сдвиге. Интеграл Дюамеля.

7. Операционный метод решения обыкновенных линейных дифференциальных уравнений и их систем.

8. Криволинейные интегралы первого и второго рода, их свойства и вычисление. Геометрические и физические приложения. Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода. Формула Грина.

9. Площадь поверхности. Поверхностные интегралы первого и второго рода, их свойства и вычисление.

10. Скалярное и векторное поля. Физические примеры. Векторные линии и их дифференциальные уравнения.

11. Ориентированные и неориентированные поверхности. Поток векторного поля через ориентированную поверхность: его свойства и физический смысл. Формула Остроградского – Гаусса.

12. Дивергенция векторного поля, ее физический смысл. Вычисление дивергенции. Соленоидальные поля.

13. Криволинейный интеграл в векторном поле. Работа силового поля.

14. Циркуляция векторного поля. Формула Стокса.

15. Ротор векторного поля, его свойства и физический смысл. Вычисление ротора в декартовых координатах.

16. Потенциальное поле, условия потенциальности. Определение потенциала векторного поля.

17. Оператор Гамильтона. Запись градиента, дивергенции и ротора векторного поля с помощью оператора Гамильтона. Оператор Лапласа. Понятие об уравнении Лапласа и гармонической функции.

18. Предмет теории вероятностей. Случайные события, операции над событиями и отношения между ними.Пространство элементарных событий.

19. Классическое определение вероятности. Теорема сложения вероятностей. Частота. Геометрическая вероятность.

20. Условная вероятность. Независимость событий. Вероятность произведения событий. Теорема о полной вероятности. Формулы Байеса.

21. Определение случайной величины.

22. Дискретные и непрерывные случайные величины.

23. Функция распределения и ее свойства, плотность вероятностей непрерывной случайной величины.

24. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона.

25. Числовые характеристики дискретных случайных величин. Математическое ожидание, его свойства.

26. Дисперсия и среднеквадратическое отклонение, основные свойства и вычисление.

27. Закон распределения вероятностей (плотность вероятностей) непрерывных случайных величин. Математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение непрерывной случайной величины, их вычисление и свойства.

28. Равномерное, показательное и нормальное распределения. Их числовые характеристики.

29. Функция Лапласа. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины. Вероятность отклонения от математического ожидания. Правило «трех сигм».

30. Система двух случайных величин. Условные законы распределения. Условные математические ожидания.

31. Зависимые и независимые случайные величины. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции.

32. Линейная корреляция, линейная регрессия.

33. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Бернулли. Теорема Чебышева.

34. Предельные теоремы. Характеристические функции и их свойства. Центральная предельная теорема Ляпунова.

35. Последовательность независимых испытаний (схема Бернулли). Предельные теоремы Муавра–Лапласа и Пуассона.

36. Понятие о случайном процессе. Классификация случайных процессов. Примеры случайных процессов.

37. Потоки событий, их свойства и классификация. Простейший поток. Потоки Эрланга. Предельная теорема для суммарного потока.

38. Цепи Маркова. Определение марковского случайного процесса. Граф состояний. Вероятности перехода. Теорема о предельных вероятностях.

39. Вычисление предельных вероятностей. Стационарное распределение. Процесс гибели и размножения.

40. Системы массового обслуживания и их классификация. Основные понятия: поток, очередь, канал обслуживания. Показатели эффективности систем массового обслуживания.

41. Марковские системы массового обслуживания. Задача Эрланга. Размеченный граф состояний. Определение основных характеристик обслуживания. Условие существования предельного распределения вероятностей состояний. Формула Литтла.

42. Основные задачи математической статистики. Генеральная и выборочная совокупности данных. Репрезентативность выборки. Статистическое распределение выборки. Варианты. Частоты.

43. Эмпирическая функция распределения. Полигон. Гистограмма.

44. Статистические оценки параметров распределения. Точечные оценки: несмещенные, эффективные и состоятельные.

45. Генеральная и выборочная средняя. Оценка генеральной средней по выборочной средней.

46. Генеральная и выборочная дисперсия. Оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочной.

47. Интервальные оценки параметров распределения. Доверительный интервал. Надежность.

48. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при известном и неизвестном среднеквадратических отклонениях.

49. Доверительный интервал для оценки среднеквадратического отклонения нормального распределения.

50. Метод наибольшего правдоподобия. Функция правдоподобия. Оценка наибольшего правдоподобия. Уравнение правдоподобия.

51. Элементы корреляционного анализа. Выборочный коэффициент корреляции; его интервальные оценки. Основные свойства регрессии.

52. Уравнение линейной регрессии. Нахождение параметров линейной регрессии методом наименьших квадратов.

53. Оценка тесноты связи с помощью коэффициента корреляции и корреляционного отношения.

54. Статистическая проверка статистических гипотез. Нулевая и конкурирующая гипотезы. Ошибки первого и второго рода. Статистический критерий проверки нулевой гипотезы критическая область.

55. Проверка гипотезы о законе распределения. Распределения: , Стьюдента и Фишера. Критерий согласия Пирсона (хи – квадрат).

56. Функционалы. Пространства и .

57. Вариация функционала. Первая вариация и необходимые условия экстремума. Экстремали.

58. Вторая вариация и достаточные условия экстремума.

59. Вариационные задачи на условный экстремум.

60. Задача с конечными связями. Задача с дифференциальными связями. Связь вариационных задач с дифференциальными уравнениями.