Перечень вопросов к зачету на первом курсе

1. Определители второго и третьего порядков, их свойства и вычисление.

2. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера.

3. Векторы. Линейные операции над векторами.

4. Линейные операции над векторами в координатах.

5. Скалярное произведение в трехмерном пространстве и его свойства. Длина вектора. Угол между векторами. Векторное и смешанное произведение.

6. Уравнение линии на плоскости.

7. Уравнение прямой на плоскости.

8. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Расстояние от точки до прямой.

9. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола. Их канонические уравнения, эксцентриситет, фокусы, асимптоты, директрисы.

10. Полярные координаты на плоскости, их связь с декартовыми координатами. Уравнение линии в полярной системе координат.

11. Уравнение поверхности в пространстве.

12. Уравнения плоскости.

13. Уравнение линии в пространстве.

14. Уравнение прямой в пространстве.

15. Угол между плоскостями; угол между прямыми; угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности.

16. Поверхности второго порядка: сфера, эллипсоид, гиперболоиды, параболоиды. Цилиндрические поверхности.

17. Цилиндрические и сферические координаты, их связь с декартовыми координатами.

18. Понятие матрицы. Действия над матрицами: умножение матриц на число, сложение и умножение матриц. Транспонирование матриц.

19. Определители – го порядка, их свойства и вычисление. Алгебраические дополнения и миноры.

20. Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений матричным способом.

21. Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований. Теорема о базисном миноре.

22. Решение произвольных систем линейных уравнений методом Гаусса. Процедура нахождения обратной матрицы методом Гаусса.

23. Линейное векторное пространство. Линейные преобразования, их матрицы. Собственные значения и собственные векторы линейного преобразования.

24. Квадратичные формы. Приведение квадратичных форм к каноническому виду. Приведение к каноническому виду уравнения кривой второго порядка.

25. Понятие множества. Операции над множествами. Декартово (прямое) произведение множеств. Алгебра множеств.

26. Отношения на множествах. Бинарные отношения, способы задания. Отображения множеств. Понятие функции. Отношения эквивалентности, порядка, доминирования.

27. Конечные и бесконечные множества. Счетные множества. Понятие мощности множества. Эквивалентность множеств. Разбиение на классы.

28. Понятие о некоторых алгебраических структурах: группа, кольцо, поле. Понятие изоморфизма.

29. Поле комплексных чисел. Комплексные числа, их изображение на плоскости. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная форма записи комплексных чисел.

30. Алгебраические операции над комплексными числами. Формула Муавра. Корни из комплексных чисел.