Метод Рунге – Кутта.
Метод Рунге – Кутта является более точным по сравнению с методом Эйлера.
Суть уточнения состоит в том, что искомое решение представляется в виде разложения в ряд Тейлора.
(См. Формула Тейлора. )
Если в этой формуле ограничиться двумя первыми слагаемыми, то получим формулу метода Эйлера. Метод Рунге – Кутта учитывает четыре первых члена разложения.
.
В методе Рунге – Кутта приращения Dyi предлагается вычислять по формуле:
где коэффициенты ki вычисляются по формулам:
Пример. Решить методом Рунге – Кутта дифференциальное уравнение 
при начальном условии у(0) = 1 на отрезке [0; 0,5] с шагом 0,1.
Для i = 0 вычислим коэффициенты ki.
id="Рисунок 3340" class="lazyload" data-src="/files/uch_group46/uch_pgroup327/uch_uch1271/image/2301.gif">
Последующие вычисления приводить не будем, а результаты представим в виде таблицы.
| i | xi | k | Dyi | yi | |
| 0
| 0 | 1 | 0,1000 | 0,1104 | 1 |
| 2 | 0,1100 | ||||
| 3 | 0,1105 | ||||
| 4 | 0,1155 | ||||
| 1 | 0,1 | 1 | 0,1210 | 0,1325 | 1,1104 |
| 2 | 0,1321 | ||||
| 3 | 0,1326 | ||||
| 4 | 0,1443 | ||||
| 2 | 0,2 | 1 | 0,1443 | 0,1569 | 1,2429 |
| 2 | 0,1565 | ||||
| 3 | 0,1571 | ||||
| 4 | 0,1700 | ||||
| 3 | 0.3 | 1 | 0,1700 | 0,1840 | 1,3998 |
| 2 | 0,1835 | ||||
| 3 | 0,1842 | ||||
| 4 | 0,1984 | ||||
| 4 | 0,4 | 1 | 0,1984 | 0,2138 | 1,5838 |
| 2 | 0,2133 | ||||
| 3 | 0,2140 | ||||
| 4 | 0,2298 | ||||
| 5 | 0,5 | 1,7976 | |||
Решим этот же пример методом Эйлера.
Применяем формулу 
Производя аналогичные вычисления далее, получаем таблицу значений:
| i | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| xi | 0,0 | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,5 |
| yi | 1 | 1,1 | 1,22 | 1,362 | 1,528 | 1,721 |
Применим теперь уточненный метод Эйлера.
| i | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| xi | 0,0 | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,5 |
| yi | 1 | 1,1 | 1,243 | 1,400 | 1,585 | 1,799 |
Для сравнения точности приведенных методов численного решение данного уравнения решим его аналитически и найдем точные значения функции у на заданном отрезке.
Уравнение 
является линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка. Решим соответствующее ему однородное уравнение.
Решение неоднородного уравнения имеет вид 
Общее решение: 
C учетом начального условия: 
Частное решение: 
Для сравнения полученных результатов составим таблицу.
| i | xi | yi | |||
| Метод Эйлера | Уточненный метод Эйлера | Метод Рунге – Кутта | Точное значение | ||
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0,1 | 1,1 | 1,1 | 1,1104 | 1,1103 |
| 2 | 0,2 | 1,22 | 1,243 | 1,2429 | 1,2428 |
| 3 | 0,3 | 1,362 | 1,4 | 1,3998 | 1,3997 |
| 4 | 0,4 | 1,528 | 1,585 | 1,5838 | 1,5837 |
| 5 | 0,5 | 1,721 | 1,799 | 1,7976 | 1,7975 |
Как видно из полученных результатов метод Рунге – Кутта дает наиболее точный ответ. Точность достигает 0,0001. Кроме того, следует обратить внимание на то, ошибка (расхождение между точным и приближенным значениями) увеличивается с каждым шагом вычислений. Это обусловлено тем, что во – первых полученное приближенное значение округляется на каждом шаге, а во – вторых – тем, что в качестве основы вычисления принимается значение, полученное на предыдущем шаге, т.е. приближенное значение. Таким образом происходит накопление ошибки.
Это хорошо видно из таблицы. С каждым новым шагом приближенное значение все более отличается от точного.