1.4. Матрицы. Основные свойства и операции.

Матрицей называют прямоугольную таблицу, составленную из каких – либо математических объектов (элементов), в простейшем случае – из чисел.

В общем случае числа строк m и столбцов n произвольны и определяют размер матрицы, обозначаемый (mn). Если строка одна, А = (а11, а12, …, а1n) – матрица-строка; аналогично определяется матрица–столбец (размеры – (1n) и (m1) соответственно).

Если число строк равно числу столбцов – квадратная матрица порядка n. Квадратной матрице А соответствует определитель, обозначаемый DА (или DА). Если DА ? 0, матрица А называется невырожденной (неособой), если DА = 0, то А – вырожденная (особая) матрица.

Если в квадратной матрице А поменять местами столбцы и строки, то получим новую матрицу, обозначаемую А* и называемую траспонированной (сама операция замены называется траспонированием). Квадратная матрица, у которой все элементы (кроме, может быть, стоящих по главной диагонали, идущей из левого верхнего в правый нижний угол) равны нулю, называется диагональной. Такая матрица, если все диагональные элементы равны единице, называется единичной и обозначается буквой Е. Нулевой называют матрицу, все элементы которой равны нулю.

Квадратную матрицу, в которой аij = aji называют симметрической (такая матрица совпадает со своей транспонированной, т.е. А = А*).

Две матрицы А и В считаются равными (А = В) тогда и только тогда, когда равны их соответственные элементы, т.е.

Матрицы одинакового размера можно складывать, получая новую матрицу того же размера по формуле:

(1.11)

Произведением числа a на матрицу А называют матрицу определяемую

равенством: (1.12)

Умножение матриц возможно в том случае, если число столбцов умножаемой матрицы равно числу строк матрицы множителя. Размер матрицы-произведения определяется соотношением (mn)(nk)=(mk). Произведение матриц А и В, обозначаемое АВ находят по правилу:

(1.13)

т.е. элемент матрицы – произведения, стоящий в i – й строке и к – ом столбце, равен сумме произведений соответственных элементов i – й строки матрицы А и к – ого столбца матрицы В. Пример:

Отметим, что переместительный закон для произведения матриц в общем случае не выполняется: АВ ? ВА.

Аналогично понятию обратного числа (произведение числа на число обратное равно единице: а ? а–1 = 1) вводится понятие обратной матрицы А–1.

А ? А–1 = Е, где Е – единичная матрица.

Обратную матрицу имеет всякая невырожденная квадратная матрица, причем:

где Аmn – алгебраическое дополнение элемента матрицы аmn (см. (1.4.))

Альтернативный способ вычисления А-1 приведён в разделе (1.4.3)

Контрольные вопросы.

1) Что называется матрицей? Приведите примеры.

2) Какие действия установлены над матрицами? Как они определяются и каковы их основные свойства?

3) Какая матрица называется обратной для данной матрицы А? Для любой ли матрицы существует обратная? Если нет, то какому условию должна удовлетворять данная матрица, чтобы для неё существовала обратная матрица? Как найти обратную матрицу?

Тест №3.

Найти матрицу, обратную данной и указать верный ответ:

а) ; б)

1.4.2. Решение уравнений. Определение операции умножения матриц позволяет предложить матричный способ решения системы линейных уравнений.

Систему уравнений можно представить в матричной форме АХ = В, где

Если DА ? 0, то решение системы запишется в виде Х = А–1В т.е. для нахождения матрицы – столбца неизвестных надо умножить обратную матрицу системы на матрицу-столбец свободных членов. Контрольные вопросы.

1) Что называется матрицей системы линейных уравнений и расширенной матрицей системы линейных уравнений?

2) Опишите матричный способ решения систем линейных уравнений

Тест 4.

Найти решение системы с помощью обратной матрицы

а) б)

1.4.3. Ранг матрицы. Пусть дана прямоугольная матрица А, содержащая m строк и n столбцов. Выделим в этой матрице произвольным образом к строк и к столбцов (к £ m, к £ n). Определитель к – ого порядка, составленный из элементов матрицы А, расположенных на пересечении выделенных столбцов и строк, называется минором к – ого порядка матрицы А. Очевидно, что можно составить миноры любого порядка, не превышающего m и n, причем (в общем случае) по крайней мере некоторые из них не будут равны нулю. Рангом матрицы А называют наибольший порядок минора этой матрицы, отличного от нуля. (Если все элементы матрицы равны нулю, то и ранг ее принимают равным нулю).

1. Замену строк столбцами, а столбцов – соответствующими строками;

2. Перестановку строк;

3. Вычеркивание строк, все элементы которых равны нулю;

4. Умножение какой – либо строки на отличное от нуля число;

5. Прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки.

Пример: Найти ранг матрицы Сложим соответствующие

элементы 1 и 3 строк, а затем разделим на 4 элементы «обновленной» первой строки. Из элементов 1 строки вычтем соответствующие элементы 2 строки, после чего вычеркнем 1 строку.

Следовательно и ранг исходной матрицы r(A) = 2.

Можно показать, что ранг матрицы равен числу не обнуляемых элементарными преобразованиями строк.

Примечание:

Элементарные преобразования матриц позволяют упростить вычисление обратной матрицы. Припишем к матрице А единичную матрицу Е той же размерности, отделённую вертикальной чертой. Умножив обе части сдвоенной матрицы А|E на А-1 получим Таким образом, если элементарными преобразованиями сдвоенной матрицы левую часть её привести к виду Е, то в правой части окажется искомая обратная матрица А-1.

Пример: А= ; Найти А-1.

Составим сдвоенную матрицу и преобразуем её.

; Т.о. А-1 =. В (1) преобразовании к 1 и 2 строкам прибавляем 3; во (2) прибавляем к 3 строке 1, а из 1 вычитаем 2, умноженную на 4; в (3) вычитаем из 3 строки 2, умноженную на 6; в (4) прибавляем к 2 строке 3, а 3 умножаем на -1.

Проверка показывает, что А-1 найдена правильно.

Контрольные вопросы.

Что называется рангом матрицы?

1.4.4. Исследование системы m линейных уравнений с n

неизвестными.

Системе уравнений соответствуют матрицы

называемые матрицей и расширенной матрицей системы. Теорема Кронекера – Капелли гласит: Для совместности системы уравнений необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу ее расширенной матрицы. r(A) = r(А1) = r

Если ранг совместной системы равен числу неизвестных (r = n) – система определенная. Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система – неопределенная (имеет бесконечное множество решений).

Контрольные вопросы.

1) Каково условие совместности систем линейных уравнений (теорема Кронекера-Капелли)?

2) Каково условие определённости и неопределённости совместной системы?

1.4.5. Решение системы уравнений методом Гаусса.

Использование определителей при большом числе уравнений (неизвестных) приводит к большим по объему вычислениям. Существенные преимущества дает метод Гаусса, заключающийся в последовательном исключении неизвестных, позволяющем привести систему к так называемому ступенчатому виду.

Процесс нахождения коэффициентов ступенчатой (треугольной) системы называется обычно прямым ходом, а процесс нахождения значений неизвестных – обратным ходом.

Можно (и целесообразно) приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу системы с контрольным столбцом.

Контрольный столбец, каждый элемент которого равен сумме элементов соответствующей строки, вводят для проверки правильности преобразования.

(При линейных преобразованиях матрицы соответствующие операции выполняются над всеми элементами ее. При этом каждый элемент контрольного столбца остается равным сумме всех других элементов соответствующей строки преобразованной матрицы). Напомним, что переход к эквивалентной матрице обозначают: ~ .

Пример:

(В первом преобразовании умножаем первую строку на –2 и складываем со второй, умножаем первую на –1 и складываем с третьей, умножаем первую на –3 и складываем с четвертой. Во втором – умножаем на –3 третью строку и прибавляем к ней вторую, умножаем на – 3/4 четвертую строку и прибавляем к ней вторую. В третьем преобразовании умножаем третью строку на – 2/5 и прибавляем результат к четвертой. В четвертом – умножаем на 5/9 четвертую строку).

Полученная матрица позволяет записать преобразованную систему

и последовательно определить неизвестные: х4 = 4; х3 = 3; х2 = 2; х1 = 1. Аналогично преобразования выполняются при любой размерности системы. Если система определена, то

ступенчатая система оказывается треугольной (последнее уравнение содержит одно неизвестное). В неопределенной системе (число неизвестных больше числа уравнений) последнее уравнение содержит больше одной неизвестной.

Если система несовместна (не имеет решений), то после приведения к ступенчатому виду в ней окажется хотя бы одно уравнение вида 0 = 1.

Метод Гаусса удобен и при решении однородных систем уравнений. Рассмотрим систему Составим расширенную матрицу системы и линейно преобразуем её:

В (1) преобразовании умножаем первую строку на 2 и складываем с третьей, во (2) преобразовании вычитаем из третьей строки вторую, в (3) преобразовании отбрасываем третью (состоящую из нулей) строку.

Легко видеть, что ранг матрицы системы (см. раздел 1.4.3) r = 2.

Выделив число неизвестных, равное рангу матрицы, назовём их базисными неизвестными, а остальные - свободными неизвестными системы. Через последние выражаются базисные неизвестные.

В нашем случае преобразованная система запишется в виде: Приняв за базисные неизвестные и перенесём их направо: . Обозначив и

получим откуда

Примечание:

Методы Гаусса и Крамера являются прямыми методами, приводящими, если не совершать вычислительной погрешности, к точному решению. Однако:

1. Метод Гаусса требует существенно меньшего ( раз; n – порядок системы) объёма арифметических операций по сравнению с методом Крамера.

2. Метод Гаусса, в отличие от метода Крамера, позволяет оперировать с частью уравнений системы и алгоритм преобразований «по Гауссу» много проще алгоритма по Крамеру. Недостаток метода Гаусса- в накоплении погрешностей вычисления от шага к шагу, из-за чего метод Гаусса практически не применяется для систем с более чем 1000 неизвестных.

Контрольные вопросы.

1) В чём состоит сущность метода Гаусса для исследования и решения системы линейных уравнений? Опишите схему его применения.

2) Что называется рангом системы линейных уравнений и как, пользуясь методом Гаусса можно найти ранг системы?

3) Что называется прямым и обратным ходом метода Гаусса?

Тест 5.

1) Найти ранг матрицы и указать правильный ответ:

а)

б)

2) Решить методом Гаусса систему уравнений и выбрать верный ответ а) ; б)