Линейное программирование с параметром в целевой функции

Пусть коэффициент cj целевой функции изменяется в пределах (cj — c'j,cj + с''j), тогда для удобства решения задачи его можно заменить выражением

id="Рисунок 10082" class="lazyload" data-src="/files/uch_group46/uch_pgroup327/uch_uch1271/image/4468.gif">

где c'j, с''j — постоянные; λ — параметр, который изменяется в некоторых пределах (в общем случае от – до ).

В общем виде задача линейного программирования с параметром в целевой функции записывается так:

при ограничениях:

Для каждого значения λ в промежутке δ ≤ λ ≤ φ, где δ и φ — произвольные действительные числа, найти вектор (x1, x2,..., xп), удовлетворяющий системе ограничений и обращающий в максимум (минимум) целевую функцию.

Решая задачу на максимум симплексным методом и исследуя ее решение в зависимости от изменения параметра λ, получим выражения для определения нижнего (λ1) и верхнего (λ2) его значений:

где Δ"j, — оценка симплексной таблицы, содержащая параметр λ; Δ'j — оценка симплексной таблицы, не содержащая параметр λ.

Если для целевой функции отыскивается min, то границы изменения λ (λ1 и λ2) определяются следующим образом:

Приведем алгоритм решения.

1) Задачу решаем симплекс–методом при конкретном значении параметра λ до получения оптимального решения.

2) Вычисляем значения параметров λ1, λ2.

3) Определяем множество значений параметра λ, для которых полученное решение является оптимальным.

4) В случае необходимости в базис вводим вектор, соответствующий столбцу, из которого определялось значение параметра λ2.

5) Выбираем ключевую строку и ключевой элемент.

6) Определяем новое оптимальное решение.

7) Находим новое множество значений λ, для которых решение останется оптимальным.

8) Процесс вычисления повторяем до тех пор, пока весь отрезок [δ, φ] не будет исследован.

Выясним геометрический смысл задачи.

Пусть L() = (c'j + λc''jxj) → max. ABCDEF — область допустимых решений. При λ = 0 строим вектор и, перемещая линию уровня MN по направлению вектора , получим в точке D оптимальное решение. Итак, (D) — оптимальное решение, при котором имеем L( (D))max. При различных значениях λ линия M'N', параллельная линии уровня MN, будет определенным образом поворачиваться вокруг точки D. Пусть при λ = λ1 прямая M'N' проходит через сторону CD многоугольника допустимых решений, а при λ = λ2 — через сторону DE. Тогда значения (D)опт и L((D))max не изменятся до тех пор, пока λ1 ≤ λ ≤ λ2. Такая картина будет повторяться до получения нового оптимального решения, соответствующего новой целевой функции, для которой существует свой диапазон изменения λ.