Интегрирование биноминальных дифференциалов.
Определение: Биноминальным дифференциалом называется выражение
xm(a + bxn)pdx
где m, n, и p – рациональные числа.
Как было доказано академиком Чебышевым П.Л. (1821–1894), интеграл от биноминального дифференциала может быть выражен через элементарные функции только в следующих трех случаях:
1) Если р – целое число, то интеграл рационализируется с помощью подстановки
, где l – общий знаменатель m и n.
2) Если 
– целое число, то интеграл рационализируется подстановкой
, где s – знаменатель числа р.
3) Если 
– целое число, то используется подстановка 
, где s – знаменатель числа р.
Однако, наибольшее практическое значение имеют интегралы от функций, рациональных относительно аргумента и квадратного корня из квадратного трехчлена.
На рассмотрении этих интегралов остановимся более подробно.
Интегралы вида 
.
Существует несколько способов интегрирования такого рода функций. В зависимости от вида выражения, стоящего под знаком радикала, предпочтительно применять тот или иной способ.
Как известно, квадратный трехчлен путем выделения полного квадрата может быть приведен к виду:
Таким образом, интеграл приводится к одному из трех типов:
1) 
2) 
3) 
1 способ.
Тригонометрическая подстановка.
Теорема: Интеграл вида 
подстановкой 
или
сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint или cost.
Пример:
Теорема: Интеграл вида 
подстановкой 
или
сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint и cost.
Пример:
Теорема: Интеграл вида 
подстановкой 
или 
сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint или cost.
Пример:
2 способ. Подстановки Эйлера. (1707–1783)
1) Если а>0, то интеграл вида 
рационализируется подстановкой
.
2) Если a0, то интеграл вида рационализируется подстановкой 
.
3) Если aid="Рисунок 2382" class="lazyload" data-src="/files/uch_group46/uch_pgroup327/uch_uch1271/image/1521.gif">
Пример.
Второй способ решения того же самого примера.
С учетом того, что функции arcsin и arccos связаны соотношением 
, а постоянная интегрирования С – произвольное число, ответы, полученные различными методами, совпадают.
Как видно, при интегрировании иррациональных функций возможно применять различные рассмотренные выше приемы. Выбор метода интегрирования обуславливается в основном наибольшим удобством, очевидностью применения того или иного метода, а также сложностью вычислений и преобразований.
Пример.
