Графический метод
Рассмотрим примеры решения задач нелинейного программирования с двумя переменными, причем их целевые функции и системы ограничений могут быть заданы в линейном и нелинейном виде.
Так же как и в задачах линейного программирования, они могут быть решены графически.Задача с линейной целевой функцией и нелинейной системой ограничений
Пример. Найти глобальные экстремумы функции
при ограничениях:
Решение. Область допустимых решений — часть окружности с радиусом 4, которая расположена в первой четверти.
Линиями уровня целевой функции являются параллельные прямые с угловым коэффициентом, равным –2. Глобальный минимум достигается в точке O (0, 0), глобальный максимум — в точке А касания линии уровня и окружности. Проведем через точку А прямую, перпендикулярную линии уровня. Прямая проходит через начало координат, имеет угловой коэффициент 1/2 и уравнение x2 = 1/2х1.
Решаем систему
откуда находим х1 = 8
/5, x2 = 4/5, L = 16/5 + 4/5 = 4.
Ответ. Глобальный минимум, равный нулю, достигается в точке O (0, 0), глобальный максимум, равный 4, — в точке А(8/5, 4/5).
Задача с нелинейной целевой функцией и линейной системой ограничений
Пример. Найти глобальные экстремумы функции
при ограничениях:
Решение. Область допустимых решений — OABD. Линиями уровня будут окружности с центром в
точке O1. Максимальное значение целевая функция имеет в точке D(9, 0), минимальное — в точке O1 (2, 3). Поэтому
Ответ. Глобальный максимум, равный 58, достигается в точке D (9, 0), глобальный минимум, равный нулю, — в точке O1 (2, 3).
Пример. Найти глобальные экстремумы функции
при ограничениях:
Решение. Область допустимых решений — OABD. Линии уровня представляют собой окружности с центром в точке O1 (6, 3). Глобальный максимум находится в точке O (0, 0) как самой удаленной от точки O1. Глобальный минимум расположен в точке Е, находящейся на пересечении прямой 3x1 + 2x2 = 15 и перпендикуляра к этой прямой, проведенного из точки O1.
Найдем координаты точки Е: так как угловой коэффициент прямой 3x1 + 2x2 = 15 равен –3/2, то угловой коэффициент перпендикуляра O1Е равен 2/3. Из уравнения прямой, проходящей через данную точку О2 с угловым коэффициентом 2/3, получим
Решая систему
находим координаты точки Е: х1 = 51/13, x2 = 21/13, при этом L(Е) = 1053/169.
Координаты точки Е можно найти следующим образом: дифференцируя выражение (x1 — 6)2 + (x2 – 3)2 как неявную функцию по x1, получим
Приравниваем полученное значение к тангенсу угла наклона прямой 3x1 + 2x2 = 15:
Решаем систему уравнений
получим координаты точки Е: х1 = 51/13, x2 = 21/13.
Ответ. Глобальный максимум, равный 52, находится в точке O (0, 0). Глобальный минимум, равный 1053/169, находится в точке E (51/13, 21/13).
Задача с нелинейной целевой функцией и нелинейной системой ограничений
Пример. Найти глобальные экстремумы функции
при ограничениях:
Решение. Областью допустимых решений является окружность с радиусом 4, расположенная в первой четверти. Линиями уровня будут окружности с центром в точке O1 (2, l).
Глобальный минимум достигается в точке O1. Глобальный максимум — в точке А (0, 4), при этом
Ответ. Глобальныи минимум, равный нулю, достигается в точке O1 (2, l), глобальный максимум, равный 13, находится в точке А (0, 4).
Пример. Найти глобальные экстремумы
при ограничениях:
Решение. Область допустимых решений не является выпуклой и состоит из двух частей. Линиями уровня являются окружности с центром в точке O (0, 0).
Найдем координаты точек А и В, решая систему
Получим А (1, 4), В (4, 1). В этих точках функция имеет глобальные минимумы, равные 17. Найдем координаты точек D и Е, решая системы
откуда получаем D (2/3, 6) и L(D) = 328/9, E (7, 4/7) и L(E) = 2417/49.
Ответ. Целевая функция имеет два глобальных минимума, равных 17, в точках А (1, 4) и B (4, 1), глобальный максимум, равный 2417/49, достигается в точке E (7, 4/7).