Экономический анализ задач с использованием теории двойственности
Рассмотрим задачу оптимального использования ресурсов, запишем ее математическую модель
при ограничениях:
Двойственная задача имеет вид
при ограничениях:
ТЕОРЕМА 3.
Значения переменных уi в оптимальном решении двойственной задачи представляют собой оценки влияния свободных членов системы ограничений исходной задачи на оптимальное значение ее целевой функции, т.е.
Примем 
Li ≈ ΔLi, bi ≈ Δbi, тогда ΔLi ≈ yi • Δbi.
Для задачи оптимального использования сырья это уравнение показывает, что при изменении i–го ресурса оптимальный доход является линейной функцией от его приращения, причем коэффициентом служит уi — i–я компонента оптимального решения двойственной задачи.
Если yi мало, то значительному увеличению i–го ресурса будет соответствовать небольшое увеличение оптимального дохода и ценность ресурса невелика.
Если yi = 0, то при увеличении i–го ресурса оптимальный доход остается неизменным и ценность этого ресурса равна нулю. В самом деле, сырье, запасы которого превышают потребности в нем, не представляет ценности для производства и его оценку можно принять за нуль.
Если уi велико, то незначительному увеличению i–го ресурса будет соответствовать существенное увеличение оптимального дохода и ценность ресурса высока.
Уменьшение ресурса ведет к существенному сокращению выпуска продукции.Переменную уi считают некоторой характеристикой ценности i–го ресурса. В частности, при увеличении i–го ресурса на единицу (Δbi = 1) оптимальный доход возрастает на yi, что позволяет рассматривать yi как "условную цену", оценку единицы i–го ресурса, объективно обусловленную оценку.
Так как уi представляет частную производную от оптимального дохода по i–му ресурсу, то уi характеризует скорость изменения оптимального дохода при изменении i–го ресурса.
С помощью yi можно определить степень влияния ограничений на значение целевой функции. Предельные значения (нижняя и верхняя границы) ограничений ресурсов, для которых yi остаются неизменными, определяются по формулам:
где xj — значение переменной в оптимальном решении; dij — элементы матрицы (dij) = А–1, обратной к матрице базиса оптимального решения, для которой А = (aij)mxn.
Если в план включаются новые виды продукции, то их оценка находится по формуле
Если Δj < 0, то новый вид продукции улучшает план. При Δj > 0 нецелесообразно включать новый вид продукции.