6.4. Выбор шага интегрирования.
При вычислении значения определенного интеграла от функций, заданных аналитически, необходимо обеспечить требуемую точность расчета ε.
Точность вычисления можно повысить двумя способами:
1.
Использовать более точную квадратурную формулу.2. Увеличить количество узлов, соответственно уменьшить шаг интегрирования h.
На практике обычно используется формула Симпсона, а требуемая точность расчета достигается вторым из указанных выше способов. Выполняется расчет с выбранным числом узлов n, затем выполняется расчет с удвоенным их числом. Если результаты отличаются более чем на требуемую точность, число узлов вновь удваивается. Расчет заканчивают, когда 
, полагая, что 
, т.е. последнее вычисленное приближенное значение интеграла отличается от точного значения не больше чем на заданную точность.
Такой способ называется автоматическим выбором шага интегрирования и легко реализуется на ЭВМ.
Начальный шаг интегрирования рекомендуется выбирать из соотношения:
где k = 1 для формул правых и левых прямоугольников;
k = 2 для формул трапеций и центральных прямоугольников;
k = 3 для формулы Симпсона.
 |
Рис. 6.10. Схема алгоритма вычисления определенного интеграла
с автоматическим выбором шага интегрирования.
Важно напомнить, что погрешность решения включает погрешности метода δM и погрешность округления δO. При увеличении числа узлов n δM уменьшается, но растет δO, т.к. увеличивается количество арифметических действий для решения задачи. Зависимость этих величин показана на графике.
Рис. 6.11. Структура погрешности численного интегрирования.
Из графика следует, что требуемую точность ε следует выбирать больше δкр, иначе требуемая точность не может быть достигнута.