Тема 8 Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Дана система дифференциальных уравнений:

, где n – размерность системы.

Рассмотрим задачу Коши для данной системы. Пусть известны начальные условия при x0 = a: y1(x0) = y10, y2(x0) = y20, …, yn(x0) = yn0. Требуется найти y1(x), y2(x),…, yn(x), проходящие через заданные точки: (x0,y10), (x0,y20), …, (x0,yn0).

Методы решения одного дифференциального уравнения можно обобщить и на их системы.

8.1. Метод Рунге-Кутта 4-го порядка для системы ОДУ 1-го порядка

Расчетные формулы метода Рунге-Кутта 4-го порядка для системы ОДУ 1-го порядка:

где ;

;

;

m – количество узлов;

– номер функции;

– номер узла;

;

;

;

.

На рис. 8.1 – 8.3 представлен алгоритм решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Рис. 8.1. Алгоритм решения системы ОДУ.

Рис. 8.2. Алгоритм расчета новой точки методом Рунге-Кутта 4-го порядка:

Рис. 8.3. Схема процедуры вычисления правой части системы ОДУ 1-го порядка: