Тема 4 Решение систем линейных уравнений.
|
 |
Дана система линейных уравнений (СЛУ) с n неизвестными:
В матричной форме записи система (4.1) имеет вид:
(4.2)
где : n – порядок системы;
– матрица коэффициентов системы;
– вектор свободных членов; 
– вектор неизвестных;
В свернутой форме записи СЛУ имеет вид:
(4.3)
Система называется обусловленной (не вырожденной, не особенной), если определитель системы DA ? 0, и тогда система (4.1) имеет единственное решение.
Система называется не обусловленной (вырожденной, особенной), если DA = 0, и тогда система (4.1) не имеет решений или имеет бесконечное множество решений.
На практике коэффициенты системы aij и свободные члены bi часто задаются приближенно, с некоторой неустранимой погрешностью. Поэтому, кроме существования и единственности решения СЛУ, важно еще знать, как влияет такая погрешность на получаемое решение.
Система называется плохо обусловленной, если неустранимая погрешность оказывает сильное влияние на решение; у таких систем определитель близок, но не равен 0.
Рассмотрим пример плохо обусловленной системы.
Дана система 
Решение 
; 
Пусть b2 имеет неустранимую погрешность 
%.
Если b2 = 1,01, то 
Если b2 = 0,99, то 
Решение изменяется очень сильно, следовательно, система плохо обусловлена, о чем говорит значение её определителя.
Рассмотрим геометрическую иллюстрацию обусловленности СЛУ на примере системы двух уравнений с двумя неизвестными:
a11 x1+ a12 x2 = b1 уравнение (I)
a21 x1+ a22 x2= b2 уравнение (II)
 |
Рис. 4.1. Геометрическая иллюстрация обусловленности СЛУ.
Каждому уравнению в плоскости (x1,x2) соответствует прямая, а точка пересечения этих прямых является решением этой системы. Если ΔA = 0, то наклоны прямых одинаковы, и они либо параллельны (т.е. не имеют решения), либо совпадают (имеют бесконечное множество решений). Если ΔA ? 0, то прямые имеют единственную точку пересечения.
Но если система плохо обусловлена (∆А≈0), даже незначительное изменение одного из коэффициентов приведет к сильному изменению решения системы, т.к. прямые почти параллельны.
Для решения СЛУ широко применяться прямые и итерационные методы. Область применения некоторых из них показана в таблице.
(
)