4. Сходимость явных одношаговых методов.
Предположим, что требуется найти функцию y(x), которая является решением дифференциального уравнения (1) и принимает в точке x0 некоторое определенное значение
.
Может оказаться, что начальное условие y(x0) известно неточно, а определяется в результате эксперимента, например, с помощью измерений или в результате решения какой-либо задачи. В этом случае вместо точного начального условия y(x0) приходится использовать его приближенное значение y0-, а вместо задачи Коши (1) решать задачу
, (25)
, (26)
с измененным начальным условием
, (27)
Решение задачи (25), (26) зависит от y0- и не совпадает с искомым решением задачи (1), (2). Разность
(28)
называется неустранимой погрешностью решения y0(x).
Разность между значением решения y0(xn) задачи (25), (26) и его приближенным значением yn, полученным по формуле (5),
(29)
называется погрешностью метода или глобальной погрешностью метода. Погрешность метода на одном шаге интегрирования называется локальной погрешностью метода rn.
В действительности же вследствие ошибок округления и приближенного вычисления правой части f(x, y) дифференциального уравнения вычисления значений yn+1 по формуле (5) выполняются, как правило, неточно.
Фактически найденные значения y0- удовлетворяют не соотношению (5), а условию
(30)
Невязка dn называется погрешностью округления на n‑м шаге.
Разность между точным решением задачи y(xn) задачи (1), (2) и приближенным фактически найденным значением yn
(31)
называется полной погрешностью приближенного решения. Величина
(32)
называется вычислительной погрешностью.
Из соотношений (28), (29), (31) и (32) следует, что:
, (33)
т.е. полная погрешность приближенного решения равна сумме неустранимой погрешности, погрешности метода и вычислительной погрешности.
Присутствие в (33) слагаемого zn означает, что погрешность начального значения распространяется на все узлы сетки. Часть полной погрешности приближенного решения, зависящая от ошибки в начальных условиях, называется неустранимой погрешностью. Если начальные условия заданы точно, то этого члена нет.
Второй член получается за счет того, что мы находим не точное решение задачи, а приближение к нему по формуле Рунге-Кутта. Это погрешность метода, и она имеет порядок hs.
Третий член получается за счет ошибок округления. В практике вычислений на ЭВМ величина dn ограничена снизу, если при этом длина шага h слишком мала, а интервал интегрирования велик, то вычислительная погрешность может достигать больших значений.
В действительности же ошибки округления dn могут иметь различные знаки и частично компенсировать друг друга. Разные знаки могут иметь и погрешности метода rn. Отдельные составляющие, входящие в полную погрешность Rn (33), могут давать отклонения от точного решения в разные стороны.
Из приведенных оценок можно сделать следующий вывод, подтверждаемый практикой численного решения на ЭВМ дифференциальных уравнений. Если заранее обеспечена необходимая малость неустранимой погрешности, то в полной погрешности преобладает либо погрешность метода, либо вычислительная погрешность. Погрешность метода может быть сделана сколь угодно малой за счет уменьшения шага h. Вычислительная погрешность может быть снижена за счет увеличения числа используемых в промежуточных вычислениях значащих цифр. Однако практические возможности в этом далеко не беспредельны из-за конечности разрядной сетки машины.
Из вышесказанного следует, что вычислительный процесс должен быть организован таким образом, чтобы поддерживался баланс между всеми видами погрешности, составляющими полную погрешность приближенного решения. Этот баланс может быть достигнут, если надлежащим образом будут согласованы между собой требуемая точность решения задачи, точность задания начальных условий, порядок численного метода, величина шага интегрирования и используемая длина разрядной сетки ЭВМ.