2. Построение разностных схем методом неопределенных коэффициентов.
Коэффициенты ai и bi выбираются таким образом, чтобы разностное уравнение (2) аппроксимировало дифференциальное уравнение (2.1) с достаточно гладкой правой частью с некоторым порядком s.
Это означает, что невязка r, которая получается после подстановки точного решения y(x) дифференциального уравнения (2.1) в разностное уравнение (2):
, (9)
является величиной 0(hs+1). Число s называется порядком аппроксимации, или степенью разностного уравнения (2). Величина
(10)
называется погрешностью аппроксимации дифференциального уравнения (2.1) разностным уравнением (2).
Другими словами, погрешность аппроксимации — это невязка, которая получается после подстановки точного решения дифференциального уравнения в разностное уравнение (8).
Степень s разностного уравнения (2) определяется только коэффициентами ai и bi этого уравнения и не зависит от того конкретного дифференциального уравнения, для решения которого оно применяется.
Для того, чтобы величина rn+k и погрешность аппроксимации rn+k не изменялись при умножении разностного уравнения (2) на произвольную постоянную, вводится нормировка разностного уравнения с помощью дополнительных условий, налагаемых на коэффициенты уравнения. Обычно полагают:
, (16)
. (17)
При выполнении условия (16) уравнение (2) можно записать:
. (18)
В этом случае невязка rn+k (9) называется локальной погрешностью формулы (18).