7.2. Модифицированный метод Эйлера (метод Рунге-Кутта 2-го порядка).

Для повышения точности формула Эйлера применяется дважды на каждом элементарном отрезке: сначала для вычисления значения функции в середине отрезка , затем это значение используется для вычисления тангенса угла наклона касательной к графику искомой функции в середине отрезка.

	А- начальная точка. L1- касательная к y(x) в точке А. L2- касательная к у(х) в середине элементарного отрезка L3 параллельно L2 через т. А

Рис. 7.4. Геометрическая иллюстрация модифицированного метода Эйлера.

Расчётные формулы:

- значение функции в середине отрезка [x0,x1].

- значение функции в конце отрезка [x0,x1].

Формула модифицированного метода Эйлера:

(7.6)

где i = 0, 1, …., n-1 - номер узла;

xi = a + i?h - координата узла;

у0 = у(х0) - начальное условие.

Алгоритм решения ОДУ отличается от описанного ранее алгоритма метода Эйлера (рис 7.3) только алгоритмом расчета новой точки (Рис. 7.5).

Погрешность метода d » О(h3).

Пример 7.2. Решение ранее рассмотренного уравнения (пример 7.1) модифицированным методом Эйлера.

y’ - 2?y + x2 = 1, x Î [0;1], y(0) = 1.

Пусть n = 10 , h = (1 - 0)/10 = 0,1.

Начальная точка x0 = 0, y0 = 1.

Расчёт первой точки.

Аналогично расчёт следующих точек: 2, 3, ... ,10.

Рис. 7.5. Алгоритм расчёта новой точки модифицированным методом Эйлера: