3.2. Математическая основа построения карт

Чтобы правильно и полноценно использовать карты в качестве измерительных документов, необходимо хорошо уяснить их гео­метрическую сущность и математические принципы их построения.

Геометрическая сущность картографического изображения. Геометрия картографического изображения связана с пред­ставлением о фигуре Земли - ее геометрической форме и раз­мерах.

Географическое положение точек на земной поверхности опре­деляется, как известно, их координатами. Поэтому математическая задача построения картографического изображения заключается в том, чтобы спроектировать и изобразить шарообразную поверх­ность Земли на плоскости (карте), строго соблюдая при этом од­нозначное соответствие между координатами точек на земной по­верхности и координатами их изображения на карте.

Такое проектирование сопряжено с необходимостью отнесения результатов полевых геодезических измерений при их вычисли­тельной обработке и отображении па картах к определенной, хо­рошо изученной в геометрическом отношении поверхности, которая наиболее близко подходит по своей форме и размерам к реальной фигуре Земли, но более проста по сравнению с нею.

Под фигурой Земли понимают математическую фигуру, ограниченную поверхностью среднего уровня Мирового океана в спокойном его состоянии, мысленно продолженную под всеми континентами. Эта воображаемая поверхность, перпендикуляр­ная в любой ее точке к направлению отвесной линии (на­правлению силы тяжести), называется основной уровенной поверхностью, а фигура Земли, образованная ею, - геоидом (от греческого: г е - Земля, о й д о с - вид, то есть фигура, имеющая вид Земли).

Геоид, как показали исследования, имеет всюду выпуклую, но асимметричную, сложную и неправильную в геометрическом отно­шении фигуру (Рис. 17 и 18), которая, однако, весьма мало отлича­ется от эллипсоида вращения, т. е. правильного геометрического тела, образуемого вращением эллипса вокруг его малой оси.

Эллипсоид вращения, поверхность которого наиболее близка к поверхности геоида, называют земным эллипсоидом, или земным сфероидом.

Рис. 17. Фигура Земли: геоид и земной эллипсоид (сфероид)

На картах эту поверхность представляет сетка географических меридианов и параллелей земного эллипсоида. Такая сетка на картах называется картографической сеткой.

Рис 18. Физическая и математическая поверхность Земли

При состав­лении карты прежде строят картографическую сетку, а затем, пользуясь ею как канвой, наносят по материалам топографической съемки, аэроснимкам и другим материалам изображение всех объектов, которые должны быть показаны на карте. Отступления по высоте точек земного эллипсоида от поверхности геоида достигают в среднем 50м и не превышают 150м.

Картографические сетки рассчитываются и строятся на картах по тем или иным математическим формулам, выражающим определенную для данной карты зависимость между географическими координатами точек на поверхности земного эллипсоида и плоскими прямоугольными координатами соответствующих им точек на карте.

Таким образом, нанесение на карту изображения земной по­верхности представляет собой процесс двойного проектирования, включающий одновременно переход от действительных очертаний изображаемых объектов к их горизонтальным проложе­ниям на поверхности земного эллипсоида (горизонтальной проекцией, какой-либо точки, линии или фигуры на математической поверхности Земли называется их изображение, спроектированное на эту поверхность по перпендикулярам к ней). Таким образом, проектирование физической поверхности Земли на эллипсоид по нормалям (пер­пендикулярам) к его поверхности (рис. 19), и изображение на пло­скости - карте, этих горизонтальных проложений в задан­ном масштабе и по определенным для данной карты математиче­ским правилам.

Рис. 19 Горизонтальные проложения точки и различного вида линий

на поверхности земного эллипсоида

Математически определяемый способ построения на плоскости картографической сетки того или иного вида, на основе которой на карте изображают поверхность Земли, называется карто­графической проекцией.

Искажения в картографических проекциях. Так же, как глобус невозможно развернуть на плоскости без разрывов и складок, так нельзя, вообще говоря, изобразить на карте земную поверхность с полным соблюдением геометрического подобия всех ее очертаний. Поэтому непрерывность картографи­ческого изображения достигается за счет неравномерной его деформации, называемой искажениями. При этом в одних ме­стах карты изображение как бы растягивается, а в других, наобо­рот, сжимается. А это значит, что в различных местах карты неравномерно искажаются длина линий, их направление и углы между ними, а также очертания и размеры площадей. Отсюда следует, что масштаб изображения в различных местах карты неодинаков.

Эти неизбежные искажения на карте тем значительнее, чем больше изображаемая на ней территория. Поэтому они наиболее сказываются на мелкомасштабных географических картах, изобра­жающих обширные пространства. На крупномасштабных же топо­графических картах, на которых в пределах каждого листа изобра­жается сравнительно небольшой участок земной поверхности, искажения весьма незначительны и практически не влияют на точность измерений по карте.

Картографическая проекция, наиболее подходящая по харак­теру, величине и распределению искажений для той или иной карты, выбирается в зависимости от назначения, содержания карты, а также от размеров, конфигурации и географического по­ложения картографируемой территории.

Важно подчеркнуть, что, благодаря наличию картографической сетки, все искажения, как бы велики они не были, сами по себе не влияют на точность определения по карте географического по­ложения (координат) изображаемых на ней объектов.

Проекция и масштаб картографического изображения состав­ляют его математическую основу, в которую входит также опорная геодезическая сеть.

Опорные геодезические сети. Исходными точками, относительно которых при съемках и со­ставлении карт по аэроснимкам определяют положение остальных точек земной поверхности, служат так называемые геодезиче­ские пункты. Они представляют собой надежно закрепленные и обозначен­ные на местности специальными сооружениями точки, географи­ческое положение которых (координаты) определяют заблаговре­менно из высокоточных геодезических измерений и вычислений, отнесенных к поверхности земного эллипсоида.

Сооружения, которыми на местности обозначаются геодезиче­ские пункты, обычно представляют собой деревянные или метал­лические вышки - геодезические сигналы, пирамиды, под кото­рыми заложены прочные бетонные, кирпичные или каменные клад­ки, называемые центрами.

Совокупность таких пунктов различного класса точности, более или менее равномерно размещенных на территории нашей страны и определенных в единой системе координат, составляет госу­дарственную опорную геодезическую сеть России. Она является главной и единой для всей территории страны гео­дезической основой топографических и аэрофототопографических съемок, по материалам которых составляются карты различных масштабов.

Точно нанесенные по координатам на съемочные планшеты геодезические пункты при съемках и составлении карт по аэро­снимкам используются как опорные точки для привязки к ним, а следовательно, и к единой системе координат всех географических элементов содержания карты. Тем самым обеспечивается при изображении на картах переход от физической поверхности Земли к поверхности земного эллипсоида и правильное совмещение полу­чаемого при этом изображения с картографической сеткой созда­ваемой карты.

Государственная опорная геодезическая сеть по точности под­разделяется на четыре класса. Высшим из них является астрономо-геодезическая сеть 1- го класса. Она служит основой для развития сетей низших классов, которые строятся по принципу перехода от сетей более высокого класса к сетям низших классов. Сети 2 – 4 - го классов, а также геодезические сети местного значения создаются путем сгущения сети пунктов до требуемой плотности (плотность геодезических пунктов характеризуется количе­ством квадратных километров участка местности, приходящихся в среднем на один геодезический пункт).

Государственная опорная геодезическая сеть служит также исходной основой для создания геодезических сетей местного значения, необходимых для обоснования ведомст­венных крупномасштабных съемок. На основе государственной геодезической сети создаются специальные геодезиче­ские сети. Они используются для точной привязки элементов своего положения и определения положения целей.