ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

Следующие утверждения и теоремы составляют основу законов, объединенных общим названием закон больших чисел.

Первое неравенство Чебышева. Если СВ X ? 0 имеет конечное значение m = M[X], то для любого e > 0 справедливо:

P{X ? e} £ m/e или P{X < e} > 1 - m/e.

3 Для наглядности проведем доказательство для СВНТ X с ПР f(x), хотя это остается справедливым и для СВДТ. Так как

Тогда P{X ? e} £ m/e, что и требовалось показать. 4

Второе (основное) неравенство Чебышева. Если СВ X имеет конечные значения m = M[X] и s² = D[X], то для любого e > 0 справедливо:

P{ôX - mô ? e} £ s²/e² или P{ôX - mô < e} > 1 - s²/e².

3 Проведем доказательство для СВНТ X с ПР f(x). Так как

Тогда P{ôX - mô ? e} £ s²/e², что и требовалось показать. 4

Последовательность СВ X₁, X₂, ..., X_n, ... называется сходящийся по вероятности при n ® ¥ к СВ X (обозначение: при n ® ¥), если для любого, сколь угодно малого e > 0 справедливо , или, иными словами, для любых, сколь угодно малых чисел e > 0 и d > 0 найдется номер k, что для всех n > k выполняется условие:

P{ôX_n - Xô < e} > 1 - d.

Теорема (Закон больших чисел в форме Чебышева). Если попарно независимые СВ X₁, X₂, ..., X_n, ... имеют конечные значения M[X_i] = m_i и D[X_i] = s_i²£ s², то для любого e > 0 справедливо следующее:

где или при n ® ¥.

3 Пусть СВ следовательно математическое ожидание и дисперсия этой СВ определяется следующим образом

и .

Из второго неравенства Чебышева следует, что P{ôY - M[Y]ô < e} > 1 - D[Y]/e² ? 1 - c²/n, где c = s/e > 0.

Тогда при n ® ¥ для любого e > 0 вероятность P{ô - ô < e} ® 1, что и требовалось показать. 4

Следствие. Если в условии теоремы СВ X₁, ..., X_n, ... имеют одинаковые значения M[X_i] = m, то для любого e > 0 справедливо следующее:

где или при n ® ¥.

Теорема (Закон больших чисел в форме Бернулли). Пусть СВ К - число “успехов” в n испытаниях по схеме Бернулли. Тогда при n ® ¥ частота “успехов” сходится по вероятности к p, где p - вероятность “успеха” в одном испытании, т.е.:

при n ® ¥ или для любого e > 0.

3 Пусть СВ X_i подчиняется закону распределения Бернулли, следовательно M[X_i] = p и D[X_i] = p?q. Так как , тогда из следствия теоремы получаем для любого e > 0

или при n ® ¥, что и требовалось показать. 4

Задача 1. Пусть СВ X подчиняется закону E_x(1). С помощью неравенств Чебышева оценить вероятности

P{ôX - M[X]ô < a?} для a = 1, 2, 3. Сравнить эти оценки с точными значениями.