Точечные оценки M[X], D[X] и их свойства
Утверждение 1. Точечная оценка 
параметра M[X], является несмещенной, состоятельной и эффективной в классе всех линейных оценок вида: 
3 Так как Xi являются независимыми СВ, закон распределения которых совпадает с законом распределения СВ X, т.е.
M[X] = M[Xi], D[X] = D[Xi]. Тогда, используя свойства математического ожидания и дисперсии имеем:
, т.е. несмещенность доказана.
Из следствия закона больших чисел в форме Чебышева очевидно, что 
при n ® ¥ или для любого e > 0 справедливо
, т.е. состоятельность оценки доказана.
Покажем, что точечная оценка является эффективной в классе всех линейных оценок вида: 
Имеем 
Определим значения Zi, при которых функция 
принимает минимальное значение при условии 
. Для нахождения условного экстремума составим функцию Лагранжа
,
 | тогда необходимые условия минимума функции Лагранжа определяет система из уравнений (1) и (2). Из уравнения (1) для i = 1,2, ..., n получаем Zi = l/2. Из уравнения (2) следует l = 2/n. Тогда Zi = 1/n для i = 1,2, ..., n, что и требовалось показать. 4 |
Утверждение 2. Точечная оценка 
параметра D[X], является смещенной так как 
.
Утверждение 3. Точечная оценка 
параметра D[X], является несмещенной, состоятельной и эффективной в классе всех квадратичных оценок вида: 