Содержание

1. Теоретическая часть. 7

Введение. 7

Раздел 1. Понятие события и его вероятности. 10

1.1. Предмет теории вероятности. 10

1.2. Алгебра событий. Пространство элементарных событий.

1.3. Классическое определение вероятности. 15

1.4. Геометрические вероятности. 19

1.5. Частота и вероятность. 22

1.6. Аксиоматическое построение теории вероятностей. 23

1.7. Условная вероятность и простейшие основные формулы. 29

1.8. Формула полной вероятности. 32

1.9 Формула Бейеса. 34

Раздел 2. Последовательные независимые испытания. 36

2.1. Независимые испытания. Формулы Бернулли. 36

2.2. Обобщенная теорема о повторении опытов. 39

Раздел 3. Понятие случайной величины. Функция распределения и ее основные свойства. 42

3.1. Понятие случайной величины и функции распределения. 42

3.2. Свойства функции распределения. 44

3.3. Дискретные и непрерывные случайные величины. 46

3.4. Числовые характеристики случайных величин. 48

Раздел 4. Примеры распределений случайных величин. 57

4.1. Биномиальное распределение. 57

4.2. Теорема Пуассона. 58

4.3. Закон Пуассона. 59

4.4. Равномерное распределение. 61

4.5. Показательное распределение. 63

4.6. Нормальный закон распределения. 64

Раздел 5. Системы случайных величин (случайные векторы). 72

5.1. Понятие о системе случайных величин. 72

5.2. Функция распределения системы двух случайных величин. 73

5.3. Плотность распределения системы двух случайных величин. 75

5.4. Законы распределения отдельных компонент, входящих в систему. Условные законы распределения. 77

5.5. Зависимые и независимые случайные величины. 80

5.6. Числовые характеристики системы двух случайных величин. 82

5.7. Система произвольного числа случайных величин (случайные вектора). 86

5.8. Числовые характеристики системы нескольких случайных величин. 88

Раздел 6.

6.1. Закон распределения функции одного случайного аргумента. 91

6.2. Закон распределения функции двух случайных величин. 95

6.3. Закон распределения суммы двух случайных величин. Композиция законов распределения. 96

6.4. Распределение произведения. 100

6.5. Распределение квадрата случайной величины. 101

6.6. Распределение частного. 101

6.7. Числовые характеристики функций случайных величин. 102

Раздел 7. Теоремы о числовых характеристиках. 106

7.1. Основные теоремы о математическом ожидании. 106

7.2. Теоремы о дисперсии случайной величины. 109

7.3. Теорема о линейной зависимости случайных величин. 112

Раздел 8. Характеристические функции. 114

8.1. Определение и простейшие свойства характеристических функций. 114

8.2. Предельные теоремы для характеристических функций. 118

Раздел 9. Предельные теоремы для случайных величин. 120

9.1. Сходимость последовательностей случайных величин. 120

9.2. Закон больших чисел. 121

9.3. Следствия закона больших чисел. 126

Раздел 10. Предельные теоремы теории вероятностей. 128

10.1. Центральная предельная теорема. 128

10.2. Теорема Ляпунова. 129

10.3. Теорема Лапласа. 131

2. Практические занятия, тесты, самостоятельная работа. 133

Занятие 1. Непосредственный подсчет вероятности с использованием классического определения вероятности. 133

1.1. Краткая теоретическая часть. 133

1.2. Тест. 134

1.3. Решение типовых задач. 135

1.4. Задачи для самостоятельной работы. 138

Занятие 2. Геометрическое определение вероятности. 140

2.1. Краткая теоретическая часть. 140

2.2. Тест. 141

2.3. Решение типовых задач. 143

2.4. Задачи для самостоятельной работы.. 146

Занятие 3. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. 149

3.1. Краткая теоретическая часть. 149

3.2. Тест. 149

3.3. Решение типовых задач. 151

3.4. Задачи для самостоятельной работы.. 152

Занятие 4. Теорема сложения вероятностей.

4.1. Краткая теоретическая часть. 156

4.2. Тест. 156

4.3. Решение типовых задач. 158

4.4. Задачи для самостоятельной работы.. 160

Занятие 5. Формула полной вероятности. 163

5.1. Краткая теоретическая часть. 163

5.2. Тест. 163

5.3. Решение типовых задач. 164

5.4. Задачи для самостоятельной работы.. 166

Занятие 6. Формула Бейеса. 169

6.1. Краткая теоретическая часть. 169

6.2.Тест. 169

6.3. Решение типовых задач. 170

6.4. Задачи для самостоятельной работы.. 172

Занятие 7. Последовательные независимые испытания. 175

7.1. Краткая теоретическая часть. 175

7.2. Тест. 177

7.3. Решение типовых задач. 179

7.4. Задачи для самостоятельной работы.. 181

Занятие 8. Дискретные и непрерывные случайные величины. 185

8.1. Краткая теоретическая часть. 185

8.2. Тест. 186

8.3. Решение типовых задач. 188

8.4. Задачи для самостоятельной работы.. 193

Занятие 9. Числовые характеристики дискретных случайных величин. 197

9.1. Краткая теоретическая часть. 197

9.2. Тест. 198

9.3. Решение типовых задач. 199

9.4. Задачи для самостоятельной работы.. 203

Занятие 10. Дискретные и непрерывные случайные величины. 212

10.1. Краткая теоретическая часть. 212

10.2. Тест. 212

10.3. Решение типовых задач. 214

10.4. Задачи для самостоятельной работы.. 216

Занятие 11. Закон Пуассона. 222

11.1. Краткая теоретическая часть. 222

11.2. Тест. 222

11.3. Решение типовых задач. 223

11.4. Задачи для самостоятельной работы.. 224

Занятие 12. Закон нормального распределения. 228

12.1. Краткая теоретическая часть. 228

12.2. Тест. 228

12.3. Решение типовых задач. 230

12.4. Задачи для самостоятельной работы.. 232

Литература.. 236