Методы получения ТочечныХ оценок
Метод моментов основан на приравнивании моментов (центральных, начальных) СВ X к их выборочным оценкам. При этом число составляемых уравнений равно числу неизвестных параметров.
Пример. Пусть Х ~ R(a, b), где a и b - неизвестные параметры. Нужно найти точечные оценки A и B параметров a и b соответственно.
| Согласно этому методу нужно вычислить два момента (начальный 1-го порядка и центральный 2-го порядка) СВ X: mX = (a+b)/2 и DX = (b-a)2/12 и составить два уравнения (1) и (2), приравнивая моменты (A+B)/2 и (B-A)2/12 к их соответствующим выборочным значениям
|
и 
. Следовательно: 
Метод максимального правдоподобия (Метод МП). Пусть получена конкретная выборка x1, x2, ..., xn объема n и известен закон распределения СВ X с точностью до параметров J1, J2, ..., Jk. В качестве оценок неизвестных параметров J1, J2, ..., Jk, по этому методу принимают значения Q1, Q2, ..., Qk, которые называют МП-оценками. Для их нахождения составим так называемую функцию правдоподобия:
где pi(J1, J2, ..., Jk) = P{Xi = xi} - вероятность того, что СВДТ Xi примет значение xi; f(x; J1, J2, ..., Jk) - плотность распределения СВНТ X.
Функция T(x1, x 2, ..., x k; J1, J2, ..., Jk) показывает, на сколько правдоподобны значения СВ X, полученные в выборке объема n при некоторых параметрах J1, J2, ..., Jk. Если J1, J2, ..., Jk - истинные значения, то, очевидно, что T(x1, x 2, ..., x k; J1, J2, ..., Jk) > T(x1, x 2, ..., x k; q1, q2, ..., qk), где q1, q2, ..., qk - значения отличные от истинных. Следовательно в качестве оценок Q1, Q2, ..., Qk неизвестных параметров выбирают такие, при которых функция правдоподобия принимает максимальное значение, т.е. T(x1, x 2, ..., x k; Q1, Q2, ..., Qk) = max. Тогда решение следующей системы из k уравнений позволяет получить оценки Q1, Q2, ..., Qk неизвестных параметров
Для упрощения вычисления МП-оценок удобно рассматривать логарифм функции правдоподобия, т.е. ln T(x1, x 2, ..., x k; J1, J2, ..., Jk). Свойства МП-оценок:
n оценки являются несмещенными и состоятельными;
n при больших значениях n (n > 10 ... 20) эти оценки имеют закон распределения, близкий к нормальному.
Пример. Пусть СВ X распределена по закону Пуассона с неизвестным параметром l. Найти МП-оценку Q неизвестного параметра l по выборочным значения x1, x 2, ..., x n.
Решение. Функция правдоподобия имеет следующий вид: 
где p(xi, l) = P{X = xi} - вероятность того, что СВДТ X, распределенная по закону Пуассона, примет значение xi.
Отбрасывая константу 
, логарифмируя функцию правдоподобия и используя необходимые условия максимума, получаем уравнение, определяющее МП-оценку Q параметра l: 
Отсюда следует, что 
Задача 1. Пусть время до отказа изделия t подчиняется закону Ex(l), где l неизвестный параметр. По результатам испытаний образцов изделий получена выборка t1, t2, ..., tп. Найти оценку параметра l, используя различные способы.