Числовые характеристики СЛУЧАЙНОГО ВЕКТОРА
Для двумерного случайного вектора (X, Y) вводятся следующие числовые характеристики.
Начальным моментом порядка r + s случайного вектора (X, Y) называется действительное число nr,s, определяемое формулой:
nr,s = M[Xr Ys] =
Начальный момент nr,s существует, если интеграл (соответственно ряд) в правой части равенства абсолютно сходится.
В частности, nr,0 = M[Xr] - соответствующие начальные моменты компоненты X. Вектор с неслучайными координатами (mX, mY) = (n1,0, n0,1) называется математическим ожиданием случайного вектора (X, Y) или центром рассеивания.Центральным моментом порядка r + s случайного вектора (X, Y) называется действительное число mr,s определяемое формулой
mr,s = M[(X-mX)r (Y-mY)s] =
Центральный момент mr,s существует, если интеграл (соответственно ряд) в правой части равенства абсолютно сходится. Вектор с неслучайными координатами (DX, DY) = (m2,0, m0,2) называется дисперсией случайного вектора.
Центральный момент m1,1 называется корреляционным моментом (ковариацией): KXY = M[] = M[(X-mX)?(Y-mY)] = M[XY]-mX mY.
Коэффициентом корреляции двух случайных компонентов X и Y случайного вектора является нормированная ковариация
rXY = KXY/(sXsY).
Свойства ковариации (и коэффициента корреляции):1. KXX = DX, KYY = DY, (rXX = rYY = 1);
2. KXY = KYX, (rXY = rYX);
3. |KXY| £ , (|rXY | £ 1).
Ковариационный момент и коэффициент корреляции определяет степень линейной зависимости между X и Y. Условие |rXY | = 1 необходимо и достаточно, чтобы СВ X и Y были связаны линейной зависимостью Х = a?Y + b, где a и b - константы. СВ, для которых KXY = 0 (rXY = 0), называются некоррелированными. Из независимости случайных величин Х и Y вытекает их некоррелированность (обратное, вообще говоря, неверно).
Условным математическим ожиданием компоненты Х при условии, что Y приняла одно из своих возможных значений yj, называется действительное число определяемое формулой:
mX/Y = M[X/Y = yj] =
где Р{X = xi /Y = yj} = , pij = Р{X = xi ,Y = yj}.
Условной дисперсией компоненты Х при условии, что Y приняла одно из своих возможных значений yj, называется действительное число определяемое формулой:
DX/Y = D[X/Y = yj] =
Приведенные выше формулы для числовых характеристик двумерного случайного вектора без труда обобщаются на случай n-мерного случайного вектора (Х1, Х2, ..., Хn). Так, например, вектор с неслучайными координатами (m1, m2, ..., mn), где mi - математическое ожидание СВ Хi, определяемое формулой
mi = M[Xi] =, называется центром, рассеивания случайного вектора.
Ковариационной матрицей n-мерного случайного вектора = (Х1, Х2, ..., Хn) называется симметрическая матрица, элементы которой представляют собой ковариации соответствующих пар компонент случайного вектора:
K = , | где Кij = M[] - ковариация i-й и j-й компонент. Очевидно, что Кii = М[Xi2] -дисперсия i-й компоненты. |
Корреляционной матрицей n-мерного случайного вектора называется симметрическая матрица, составленная из коэффициентов корреляции соответствующих пар компонент случайного вектора:
C = , | rij = - коэффициент корреляции i-й и j-й компоненты. |
Задача 1. Закон распределения случайного вектора (X, Y) задан в следующем виде:
Y X | 1 | 2 | 3 |
1 | 1/9 | 1/9 | 1/9 |
2 | 0 | 1/6 | 1/6 |
3 | 0 | 0 | 1/3 |
1. Вычислить условное математическое ожидание M[X/Y = 2] и дисперсию D[X/Y = 2].
2. Найти центр рассеивания случайного вектора (X, Y).
3. Построить ковариационную и корреляционную матрицы.
Задача 2. Координаты X, Y случайного положения точки на плоскости имеют
совместное равномерное распределение внутри области G = {(x, y) | -1£ x £ 2, 1 £ y £ 2}.
Записать общее выражение для ПР и для ФР вероятности случайного вектора (X,Y).
Найти центр рассеивания (mX, mY)и вычислить дисперсию (DX, DY) совместного распределения координат.
Построить ковариационную и корреляционную матрицы.