6. Расчет единовременных нетто-ставок по страхованию рент Обшие принципы расчета

В договорах по страхованию рент выделяют, как правило, три периода (рис. 25.1):

период уплаты взносов, в течение которого страхователь уплачивает страховые премии;

период отсрочки т, представляющий собой период с момента заключения (вступления в силу) договора страхования .до момента начала выплаты ренты;

Выплата ренты

Взносы ill 1 Время Период уплаты взносов Выжидательный период Период выплат Период отс эочки/л Срок страхо вания Рис. 25.1. Временные параметры договора страхования рент

3) период выплат и, в течение которого застрахованный будет получать ренту.

Иногда в договорах страхования используют также такие понятия, как «срок страхования» и «выжидательный период».

Сроком страхования называют период с момента заключения (вступления в силу) договора страхования ренты до момента последней выплаты. Иными словами, срок страхования представляет собой сумму периода отсрочки и периода выплат.

Выжидательный период — это временной интервал с момента окончания периода уплаты взносов до момента начала периода выплат.

Если период отсрочки т равен нулю, то говорят о немедленной ренте. В противном случае рента будет называться отсроченной.

Страховая рента выплачивается при условии, что застрахованный жив. При этом если в договоре конкретно указан период п, в течение которого будет выплачиваться рента, то такая рента называется срочной.

Рассмотрим вывод формулы для расчета нетто-ставки по страхованию единичной отсроченной на т лет ренты для лица в возрасте х лет, которая будет выплачиваться ежегодно в течение п лет в размере 1 руб. в конце каждого года. График поступления взносов и осуществления выплат для данного случая представлен на рис. 25.2.

Найдем современную вероятную стоимость обязательств страховщика. В соответствии с договором страхования страховщик обязуется выплачивать начиная с т-то года страхования в течение п лет в конце каждого года сумму в размере 1 руб. при условии, что застрахован-

Выплата ежегодной ренты Уплата

единовременной премии 1 1 1 Время Период отсрочки т лет т+1 т +2 т + п -1 Период выплат п лет т + п Рис. 25.2. График поступления взносов и осуществления выплат по договору страхования отсроченной срочной ренты с единовременной уплатой премии

ныЙ жив на момент осуществления выплаты. Таким образом, стра- і ховшнк обязуется произвести максимум п выплат по I руб. Современная вероятная стоимость его обязательств будет равна сумме современных вероятных стоимостей всех этих/? выплат.

Фактическая стоимость первой выплаты т-м году равна 1 руб. Вероятность этой выплаты равна вероятности ,„_ ^дожития застрахован-ного до момента выплаты в конце т-го года, т.е. до возраста (д- + т + 1) лет. Следовательно, вероятная стоимость первой выплаты равна

1 РУб.-.+ л^А <РУб.).

Эта выплата, если она произойдет, будет осуществляться через (т + I) год. Поэтому ее современная вероятная стоимость будет равна произведению вероятной стоимости на дисконтируюший множитель за (т + 1) год, т.е.

(РУб.).

Современная вероятная стоимость выплаты, осуществляемой на втором году периода выплат, составит

+ + l (РУб.).

Аналогично находятся современные вероятные стоимости всех по-следующих выплат.

Современная вероятная стоимость единичной ренты (аннуитет) для лица в возрастем лет, отсроченной на т лет и выплачиваемой в течение п лет, обозначается черезшлах. При этом если речь идет о ренте, выплачиваемой в конце каждого года, то такая рента называется рента постнумерандо (postmimerando), а ее современная вероятная стоимость (аннуитет) обозначается как тЛда. Если выплата такой ренты осуществляется в начале каждого года, то она называется рента прену- мерандо (р гае nu me rand о) и ее современная вероятная стоимость обозначается , №ах.

Таким образом, современная вероятная стоимость (аннуитет) т1/,а, единичной отсроченной на т лет ренты постнумерандо, выплачиваемой в течение п лет, будет составлять

л • Vя*2+.:.+„„/>, -V™ т

+Ac4w+1 *VmV2+...+/J+m+n -У""""

ц

D „. +Ц, ,+...+?>„ N ,-N

Ш " D

Современная вероятная стоимость единичной ренты равна единовременной иетто-ставке по страхованию такой ренты. Если мы хотим найти нетто-премию по страхованию аналогичной ренты с выплатами в размере S руб. в год, мы должны умножить аннуитет единичной ренты п-1рх на ее величину S руб.

Аналогичным образом можно вывести формулу для расчета аннуитета ренты пренумерандо. Она будет иметь вид:

I .у"' +1 + +/ .у»4**) М _ Л/

м • XV.V. IW-M UJ 1 JAWf™n " -VLW ,.Ц Ч

и д..

Расчет немедленных, пожизненных и дробленых рент

Рассмотрим несколько частных случаев.

Немедленные (т = 0) срочные ренты на п лет. В этом случае формулы для расчета аннуитетов постнумерандо „а, и пренумерандо ах будут выглядеть следующим образом:

¦ і ¦ Dx ¦

А h Dx ¦

При этом между „а, и пах имеется следующая взаимосвязь:

А = А + О - Л)-

Кроме того, необходимо отметить, что аннуитеты немедленной И отсроченной на т лет рент связаны отношением:

'т> г'^х ¦¦ Я, tfix + т' m[t$x т^х ' ti^x + m)'

Для случая пожизненных (п = немедленных (т — 0) рент постнумерандо и пренумерандо форулы для расчета их современных вероятных стомостей ах и ах примут вид:

К ~ К'

633

6.

Поскольку п = +со, то „?г = О, следовательно, аннуитеты прену- мерапдо и постнумерандо связаны отношением

ах + L

3. Ренты, выплачиваемые несколько раз в год. На практике часто встречаются случаи, когда рента выплачивается несколько раз в год. Такая рента называется дробленой. Расчет ее современной вероятной стоимости имеет некоторые особенности. Если интервалы между выплатами составляют менее одного года (несколько месяцев), теоретические формулы будут не сильно отличаться от формул, полученных для ежегодных рент. Однако расчет не может производиться аналогичным образом, поскольку таблицы смертности содержат только показатели, соответствующие целым значениям возраста. Следовательно, необходимо применить интерполяцию.

Рассмотрим немедленную единичную ренту для лица в возрастете хлет на срок п лет. Предположим, что в течение года производится к одинаковых выплат в размере ]/к руб., т.е. общая сумма выплат за год составляет I руб. Выплаты производятся через равные промежутки времени в конце каждого интервала. Обозначим современную вероятную стоимость такой ренты (аннуитет) через „я/. Тогда эта величина может быть найдена следующим образом:

і- 1 1 " к J_I К. ,=1

к

4, :_Uj/kE_x — сумма современных вероятных стоимостей выплат

J* і

за r-й год.

При выводе этой формулы предположим линейное изменение аЕх в течение года между а = t - 1 и a — t (рис, 25.3).

Значение ,_]ч/кЕх при значениях У от I до к можно определить следующим образом:

На основе этого выражения путем несложных алгебраических преобразований можно получить формулу для расчета А;.

Подставив полученное выражение в формулу для расчета „о/, получаем

конец (t-1 )-го года

конец f-ro года Время

1 -я выплата я выплата к-я выплата

Рис.

в течение гола

Таким образом, аннуитет единичной немедленной ренты постнумерандо, выплачиваемой к раз год, будет рассчитываться по формуле

Подобным образом можно найти аннуитет для ренты пренуме- рандо:

Для случая пожизненных рент (и = -К» =Ф |?| = 0) эти формулы примут следующий вид:

av « й, + ;

2А

ел

Величину аннуитета отсроченной на т лет ренты, выплачиваемой в течение п лет к раз в год в конце каждого срока, можно найти, используя соотношение между аннуитетами немедленной и отсроченной рент:

Аннуитет отсроченной дробленой ренты пренумерандо определяется аналогичным образом:

-Л гп А ^ 1 / г* т, і

II |л) в» елі ' (I^Jt-W '/jr Iл ^ ZT, '»! і ЧЙІ-ЧІ J-

м