3. Расчет единовременной нетто-ставки по страхованию на дожитие

Рассмотрим страхование на дожитие лица в возрасте х лет на срок и лет со страховой суммой S руб.

Определение взаимных обязательств сторон.

Финансовые обязательства страхователя состоят в уплате единовременной страховой премии в момент заключения договора страхования1.

Поскольку мы рассматриваем построение нетто-ста- вок, то нас интересует нетто-премия по данному договору, которая равна произведению страховой суммы JI1 на нетто-ставку по страхованию на дожитие лица в возрасте х лет на срок л лет, которую в актуарной математике принято обозначать „?,. Таким образом, фактическая величина финансовых обязательств страхователя равна S-& (руб.).

Страховщик обязуется выплатить застрахованному через п лет страховую сумму S при условии, что тот дожил до конца срока страхования''. Следовательно, величина финансовых обязательств страховщика составляет S руб.

Определение современной вероятной стоимости обязательств сторон.

2.1. Страхователь безусловно должен уплатить страховую премию, иначе договор страхования не состоится. Иными словами, величина уплаченных страхователем взносов не носит случайный характер. Следовательно, вероятная стоимость обязательств страхо-

B злвнейшем для простоты будем полагать, что страхователь, застрахованный и выгодоприобретатель — это одно и то же лицо; момент уплаты первого, или единовременного, взноса совпадает с моментом заключения договора страхования.

2 За рубежом такую гарантию принято называть «отсроченная (или отложенная) страховая сумма».

вателя равна их фактической стоимости. Кроме того, поскольку единовременный взнос уплачивается в момент заключения договора, то его современная стоимость равна фактической стоимости. При единовременном порядке уплаты страховой премии современная вероятная стоимость обязательств страхователя равна фактической величине единовременного взноса.

В нашем примере эта сумма составляет

s • А руб-

2.2. Страховщик выплатит страховую сумму только при условии, что застрахованный дожил до конца срока страхования. Поэтому веро-ятная стоимость обязательств страховщика (математическое ожидание этой случайной величины) равна произведению фактической стоимости выплаты (S) на вероятность ее осуществления, т.е.

где „рк — вероятность дожития лица в возрасте х лет до конца срока п лет, иными словами, до возраста (х + п) лет.

Поскольку выплата (если она вообще произойдет) будет осуществляться через п лет, то ее современная вероятная стоимость будет равна произведению вероятной стоимости на дисконтирующий множитель за п лет.

где v" — дисконтирующий коэффициент за /7 лет.

3. Применение принципа равновения.

Равенство современных вероятных стоимостей обязательств страхователя и страховщика в нашем примере запишется следующим образом:

S ¦ „Ех = S-nPx-v«,

Если вместо Прх подставить выражение для расчета вероятности дожития по таблице смертности, то получим общую формулу для определения единовременной нетто-ставки по страхованию на дожитие лица в возрасте х лет на срок п лет:

где /д и i!+!, — показатели таблицы смертности, характеризующие количество лиц, доживающих до возраста х и (х + п) лет соответственно.

4. Расчет единовременной нетто-ставки по страхованию на случай смерти

Рассмотрим страхование на случай смерти лица в возрасте х лет на срок п лет со страховой суммой на случай смерти S руб.

/. Определение взаимных обязательств сторон

В том, что касается обязательств страхователя, рассуждения аналогичны тем, которые приведены в предыдущем примере. Фактическая стоимость обязательств страхователя равна по величине еди-новременной премии по страхованию на случай смерти, т.е.

*-А,

где „Лх — единовременная нетто-ставка по страхованию на случай смерти лица в возрасте х лет на срок « лет; S '— страховая сумма на случай смерти, руб.

Эта фактическая стоимость равна современной вероятной стоимости обязательств страхователя, поскольку он уплачивает единовременную премию безусловно и в момент заключения договора страхования.

Теперь рассмотрим обязательства страховщика.

Страховщик обязуется выплатить страховую сумму S в случае

смерти застрахованного в течение срока страхования. Поскольку для каждого года страхования имеется определенная вероятность смерти, а следовательно, и вероятность выплаты, то общая современная веро-ятная стоимость выплаты будет равна сумме ее современных вероятных стоимостей за каждый год.

Рассмотрим первый год после заключения договора страхования.

Вероятность выплаты в течение первого года страхования равна вероятности смерти лица при переходе от возрастах лет к возрасту (х + 1) год, т.е. q По таблице смертности вероятность смерти при переходе от возраста х лет к возрасту (х+ ]) лет рассчитывается по формуле:

где ds — показатель количества лиц, умирающих при переходе от возраста х лет к возрасту (х + 1) год; 4 — показатель таблицы смертности, характеризующий количество лиц, доживающих до возраста х лет.

Вероятная стоимость выплаты (ее математическое ожидание) для первого года равна произведению страховой суммы S, на вероятность выплаты qx, т.е.

Чтобы получить современную вероятную стоимость выплаты на первом году страхования, необходимо вероятную стоимость умножить на дисконтирующий коэффициент. При этом для простоты будем полагать, что все выплаты происходят в конце года, поэтому используют дисконтирующий коэффициент за один год Vі. Таким образом, современная вероятная стоимость выплаты в течение первого года страхования равна

5 ...

1,;

Вероятность выплаты в течение второго года равна вероятности того, что застрахованный доживет до второго года страхования {т.е. до возраста (х + I) год) и умрет в течение этого года (т.е. при переходе от возраста (х + 1) к возрасту (х + 2} года). Таким образом, вероятность выплаты в течение второго года равна произведению вероятности j)x дожития лица в возрасте х лет до возраста (х + I год) на вероятность qr+, смерти при переходе к возрасту (х + 2 года). По таблице смертности эта вероятность может быть рассчитана как

Р* •Awl Ari-1 А.Ю! _ At^ _ 'А+1 At A-+i A- At

Таким образом, вероятная стоимость выплаты па первом году страхования, равная произведению страховой суммы S на вероятен ^

пость выплаты в этом году, составит і .—

Используя принятую ранее гипотезу о том, что все выплаты происходят в конце года, можно найти современную вероятную стоимость выплат для второго года страхования, которая будет равна

S-i^-v2.

Аналогичным образом определяется современная вероятная стоимость выплаты для всех последующих лет страхования.

Для третьего года вероятность выплаты равна ,j}x ¦ qx . т.е.

„ „ _ А-+2 Клг _ Ачї ~А|-3 _

т 'Ш^щг'—і - , щ j ¦

'х 'х 1Х

Следовательно, вероятная стоимость выплаты в течение третьего года равна S ¦ jp , а ее современная вероятная стоимость будет равна S-iaL.y1

Для четвертого года эта величина составит 51--^--v4 и т.д.

Ау

Для последнего гола страхования вероятность выплаты составляет

л = ^^J-"-' _ ',„-1 '^х-чт _ Чг+л-і

. | * ¦ ¦ ' -Г -