Примечание [Противоположные величины арифметики]
отрицательное само по себе, так что эти разные [моменты] не безразличны друг к другу, а различие их есть это их определение в себе и для себя. Обе эти формы положительного и отрицательного встречаются уже в первых определениях, в которых они применяются в арифметике.
Во первых, +а и а суть противоположные величины вообще:
а это лежащая в основании обеих в себе сущая единица, которая безразлична к самому противоположению и, не развивая дальше понятия, служит здесь мертвой основой. Правда, а означает отрицательное, +а положительное, но одно из них есть нечто противоположное, точно так же как и другое.
Во вторых, а это не только простая, лежащая в основании единица, но как +а и а она рефлексия этих противоположных в себя; имеются два разных а, и безразлично, какую из них обозначают как положительное или отрицательное; оба а удерживаются отдельно друг от друга и положительны.
Взятые как противоположные величины + у у = 0; или в [выражении ] 8+3 положительные 3 отрицательны в 8.
Соединяясь, противоположные снимаются. Если пройден час пути на восток и точно такой же путь обратно на запад, то путь на запад снимает пройденный вначале путь; сколько есть долгов, на столько меньше имущества, и сколько есть имущества, столько же снимается долгов. Вместе с тем час пути на восток сам по себе не есть положительный путь, как и путь на запад отрицательный; эти направления безразличны к данной определенности противоположности; лишь нечто третье имеющееся вне их отношение делает одно из этих направлений положительным, а другое отрицательным. Равным образом и долги сами по себе не суть отрицательное; они таковы лишь по отношению к должнику; для заимодавца они его положительное имущество; они некая сумма денег (или чего бы то ни было, обладающего определенной ценностью), которая есть долг или имущество в зависимости от внешнего им отношения.Хотя противоположные [моменты ] и снимают себя в своем соотношении, так что результат равен нулю, однако в них имеется также и соотношение их тождества, безразличное к самой противоположности; в этом случае они составляют одно. Как было упомянуто о сумме денег, она лишь одна сумма, или а есть лишь одно а и в +а и в а; точно так же и путь есть лишь один отрезок пути, а не два пути один на восток, другой на запад. И ордината у одна и та же, на какой бы стороне оси мы ее ни взяли; в этом смысле + у у = у; она только ордината, как таковая (die Ordinate); имеется лишь одно определение и один закон ординаты.
Но кроме того, [два] противоположных суть не только одно безразличное, но и два безразличных. А именно, как противоположные они также рефлектированные в себя и таким образом остаются разными.
Так, в [выражении] 8+3 имеется вообще 11 единиц; +у и у суть ординаты на противоположных сторонах оси, где каждая есть наличное бытие, безразличное к этой границе и к своей противоположности; в этом случае + у у = 2у. Точно так же путь, пройденный на восток и на запад, есть сумма двойного усилия или сумма двух промежутков времени.
Равным образом в политической экономии определенное количество денег или ценностей есть как средство существования не только это одно количество, но и удвоенное: оно средство существования и для заимодавца, и для должника. Государственное имущество исчисляется не только как сумма наличных денег и других недвижимых и движимых ценностей, имеющихся в государстве, и тем более не как сумма, остающаяся свободной после вычитания пассивного имущества из активного; капитал, хотя бы его активное и пассивное определение сводилось к нулю, остается, во первых, положительным капиталом, как + а а = а; во вторых же, поскольку он то пассивный капитал, то дается в заем, то снова дается в заем, он тем самым оказывается весьма приумножающимся средством.Но противоположные величины это не только, с одной стороны, просто противоположные вообще, а с другой реальные или безразличные. Нет, хотя само определенное количество и есть безразлично ограниченное бытие, однако в нем встречается также и положительное в себе, и отрицательное в себе. Например, а, поскольку оно не имеет знака, считается положительным, если перед ним требуется поставить знак. Если бы оно должно было стать лишь противоположным вообще, то его с таким же успехом можно было бы принять и за а. Но положительный знак дается ему непосредственно, так как положительное само по себе имеет свое особое значение непосредственного как тождественного с собой в отличие от противоположения.
Далее, когда положительные и отрицательные величины складываются или вычитаются, они принимаются за сами по себе положительные и отрицательные, а не за становящиеся такими лишь через отношение сложения или вычитания этим внешним способом. В [выражении] 8 ( 3) первый минус противополагается восьми, а второй минус ( 3) есть противоположный в себе, вне этого отношения.
Отчетливее обнаруживается это в умножении и делении; здесь положительное следует брать по существу своему как непротивоположное, отрицательное же как противоположное и не брать оба определения одинаково лишь как противоположные вообще.
Так как учебники при доказательстве правил о знаках в обоих этих арифметических действиях не идут дальше понятия противоположных величин вообще, то эти доказательства неполны и запутываются в противоречиях. Но в умножении и делении плюс и минус приобретают более определенное значение положительного и отрицательного в себе, так как отношение множителей друг к другу как единицы и численности это не просто отношение увеличения и уменьшения, как при сложении и вычитании, а есть качественное отношение, вследствие чего плюс и минус также приобретают качественное значение положительного и отрицательного. Если не принимать во внимание этого определения и исходить только из понятия противоположных величин, то легко можно вывести ложное заключение, что если a+a=a2 , то, наоборот, +а а = +а2. Так как один из множителей означает численность, а другой единицу, причем за первую принимается обычно первый множитель, то оба выражения а +а и +а а различаются тем, что в первом +а есть единица и а численность, а во втором наоборот. По поводу первого обычно говорят, что если +а должно быть взято а раз, то +а берется не просто а раз, а в то же время противоположным ему образом, т. е. а раз +а n, поэтому, так как здесь имеется + [a. ], то его следует брать отрицательно, и произведение есть a2. Если же во втором случае а должно быть взято +а раз, то а равным образом следовало бы брать не а раз, а в противоположном ему определении, т. е. +а раз. Следовательно, рассуждая, как и в первом случае, произведение должно быть +a . То же самое имеет место и при делении.Это заключение необходимо, поскольку плюс и минус берутся лишь как противоположные величины вообще; минусу в первом случае приписывается способность изменять плюс; во втором же случае плюс не должен был бы иметь такую способность по отношению к минусу, несмотря на то что он такое же противоположное определение величины, как и минус. И в самом деле, плюс не обладает такой силой, потому что он должен быть здесь взят по своему качественному определению относительно минуса, поскольку отношение между множителями качественное. Постольку, следовательно, отрицательное есть здесь противоположное в себе, противоположное, как таковое, а положительное неопределенное, безразличное вообще; правда, оно также и отрицательное, но отрицательное иного, а не в самом себе. Определение как отрицание получается, стало быть, лишь через отрицательное, а не через положительное.
Точно так же и а а = +a2, потому что отрицательное а должно быть взято не просто противоположным образом (ведь именно так оно должно было бы быть взято при умножении на a, a отрицательно. Отрицание же отрицания есть положительное.