ПИСЬМО 38 208 Высокопочтеннрму мужу Иоанну ван дер Меру 209 от Б. д. С.
В одиночестве моей деревенской жизни я обдумал вопрос, который Вы мне когда-то предложили, и нашел его в сущности весьма простым. Общее доказательство основывается на следующем положении: честным игро-
530
ком является тот, у которого шансы выигрыша или проигрыша равны шансам противника 210.
Равенство 211 это состоит, с одной стороны, в вероятности, с другой — в сумме денег, которую противники ставят на риск, так что если вероятность для обоих одинакова, то оба должны ставить на риск одинаковую сумму. Если же вероятность неодинакова, то один из играющих должен ставить тем большую сумму денег, чем больше для него вероятность выигрыша: тогда шансы сравняются, а следовательно, и игра будет справедливой. Так, напр., если А, играющий с В, имеет два шанса выиграть и один шанс проиграть, В же, напротив, имеет только один шанс выиграть и два проиграть, то ясно, что А должен рисковать на каждый из двух имеющихся у него шансов, тогда как В — лишь на один, т.е. А должен рисковать вдвое большей суммой.Чтобы показать это еще яснее, предположим, что играют три человека: А, В и С — с равными шансами на выигрыш и с равными ставками. Очевидно, что так как все трое ставят равное количество денег, то каждый из них рискует лишь третьей частью всей суммы, надеясь выиграть две трети ее, и что каждый из них, играя против двух других, имеет лишь один шанс выиграть и два проиграть. Если мы положим теперь, что один из трех, например С, еще до начала игры пожелает выйти из нее, то он должен взять обратно только то, что было им поставлено, т.е. третью часть общей суммы. При этом В может пожелать приобрести себе шанс С и занять его место, для чего он должен только поставить сумму, равную сумме, взятой С. И такого рода сделке А никоим образом не может противиться, ибо для него совершенно безразлично, играть ли с одним шансом против двух шансов двух различных игроков или против двух шансов, принадлежащих одному и тому же противнику.
Теперь, признавши это, мы должны будем сделать такое заключение: если один игрок держит в руке один из двух номеров, угадываемых другим игроком, который, угадав, получит известную сумму, а не угадав, проиграет такую же сумму, то в этом случае, говорю я, шансы у обоих равны: как у того, кто держит номер, так и у того, кому предоставляется угадывание его. Далее, если один игрок протягивает руку, а другой должен с одного раза угадать один из трех номеров, причем последний выигрывает531
в случае удачи известную сумму, а в случае неудачи проигрывает только половину ее, то вероятность и шансы обоих опять равны. Точно так же шансы будут равны и в том случае, если тот, кто протягивает руку, дает противнику возможность угадывать два раза, с тем чтобы, выиграв, отгадчик удержал сумму, вдвое меньшую той, которой он рискует в случае проигрыша.
Далее, вероятность и шансы игроков будут равны и в том случае, когда при четырех номерах одному из игроков позволяется угадывать три раза, причем сумма, проигрываемая этим игроком, втрое больше того, что он мог бы выиграть; или — когда он угадывает четыре раза на пять номеров, проигрывая вчетверо больше того, что может выиграть, и т.д. Отсюда следует, что для протягивающего руку все равно, сколько раз противник его будет угадывать, только бы за каждый лишний раз угадывания он рисковал суммой, представляющей собой число угадываний, разделенное на число всех угадываемых номеров. Так что если число всех номеров 5, а угадывать можно лишь один раз, то один из игроков ставит х/3 против 4/5. Если игрок угадывает дважды, то он ставит 2/5 против 3/5; если трижды — 3/5 против 2/5 и т.д.; 4/5 против 1/5 и 5/5 против 0/5. Следовательно, для того, кто предоставляет другому угадывать, если он, например, рискует х/6 частью суммы в расчете выиграть 5/6 ее, должно быть безразличным, угадывает ли один противник пять раз или пять человек угадывают каждый по одному разу, — в чем и заключался Ваш вопрос.
[Ворбург] 1 октября 1666 г.