§ 102.
Определенное количество находит свое развитие и полную определенность в числе, которое, подобно своему элементу– единице (Eins), содержит внутри себя, как свои качественные моменты, определенное множество (Anzahl) со стороны момента дискретности и единство (Еin heit) cо стороны момента непрерывности.
Примечание.
В арифметике формы исчисления даются как случайные способы действий над числами. Если есть необходимость и смысл в этих действиях, то этот смысл заключается в некоем принципе, а последний может заключаться лишь в тех определениях, которые содержатся в самом понятии числа; мы здесь вкратце укажем этот принцип. Определения понятия числа суть определенное множество и единство, а само число есть, единство их обоих. Но единство, в применении к эмпирическим числам, есть только их равенство; таким образом, принцип арифметических действий должен состоять в том, что числа ставятся в отношение единства и определенного множества, и устанавливается равенство этих определений.Так как сами единицы или сами числа безразличны друг к другу, то единство, в которое они приводятся, принимает вообще вид внешнего сочетания. Исчислять Значит поэтому вообще считать, и различие арифметических действий зависит только от качественного характера сосчитываемых чисел, а принципом этого последнего являются определения единства и определенного множества.
{176}
Нумерация есть первое действие, это – составление числа вообще, сочетание скольких угодно единиц. Но арифметическое действие есть исчисление и сочетание не просто единиц, а того, что уже представляет собою число.
Числа суть непосредственно и сначала совершенно неопределенно числа вообще; они поэтому вообще неравны; сочетание или счисление таких чисел есть сложение.
Ближайшее за этим определение чисел состоит в том, что числа вообще равны, они, следовательно, составляют одно единство, и имеется определенное множество таких чисел: счисление таких чисел есть умножение, причем безразлично, как распределяются между обоими числами, между множителями, определенное множество и единство, какой из них принимается за определенное множество и какой – за единство.
Третью определенность представляет собой, наконец, равенство определенного множеста и единства. Сочетание определенных так чисел есть возведение в степень и, ближайпшм образом, возведение в квадрат.
Дальнейшее возведение в степень есть формальное продолжение умножения числа на само себя неопределенное количество раз. Так как в этом третьем определении достигнуто полнейшее равенство единственного имеющегося различия, определенного множества и единства, то не может быть больше арифметических действий, чем эти три. Сочетанию чисел соответствует разложение чисел согласно тем же определенностям. Поэтому наряду с тремя указанными действиями, которые постольку могут быть названы положительными, существуют таксе и три отрицательных действия.Прибавление. Так как число есть вообще определенное количество в его полной определенности, то мы пользуемся им не только для определения так называемых дискретных величин, но также и для так называемых непрерывных величин. Приходится, поэтому, также и в геометрии прибегать к помощи числа в тех случаях, в которых дело идет об указании определенных пространственных конфигураций и их отношений.
с. Степень.