Глава 7 Вычисление и речение

Мене, мене, текел, упарсин [Сосчитано, взвешено, разделено].

Книга Пророка Даниила. 5:25-28

Когда мы говорим (пишем), то соотносим слова по смыслу. В предложениях и фразах смысл одних слов раскрывается в соотнесении со смыслом других слов.

Когда мы вычисляем, то соотносим числа по величине. В математических выкладках величина некоторого числа как бы извлекается из соотнесений с другими числами. Число есть и результат, и средство вычислений. Примером служит таблица умножения.

Словесное речение (письмо) и вычисление — это разные и притом в чем-то сходные способы соотнесения знаков по заключенному в них значению: слов, обозначаемых звукобук- вами, и чисел, обозначаемых цифрами. Смысл и величина — это разные значения. Отсюда следует правомочность сопоставления двух языков — слов и чисел.

У Платона (1879. Филеб: 24 a-в) «определить» предсуще- ствующую величину означает положить предел бесконечным колебаниям больше-меньше. «Аморфные» величины изменяются непрерывно, тогда как числа неизменяемы, дискретны, «кристалличны» (Лузин 1958а). «Измеренная» единицей величина становится неподвижным числом. Впрочем, процедуру обездвижения колеблющейся величины лучше именовать «определением» как установлением пределов.

В философии Платона обоснование научного знания заключается прежде всего в определении величин, и это имеет исключительное значение для понимания феномена науки (Гайденко 1979; Родин 2003). Начиная с Евклида (1946), единица остается универсальной мерой для определения величин: «Число же множество, составленное из единиц». Цифра — знак определенной величины.

В языке слов нет универсальной меры смысла вроде единицы, что естественно: смысл глагола, например, несопоставим со смыслом имени существительного.

Определенные величины чисел сами по себе «не увеличиваемы и не уменьшаемы» (Лосев 1923). То, что называют переменной величиной,' в действительности служит всего лишь «знаком с переменным значением» (Фреге 2000). Приближение переменной величины к пределу не предполагает изменения величины числа.

От обычных чисел резко отличаются так называемая бесконечная величина, не определяемая даже очень большим количеством единиц, и ноль — число без величины. Поль и бесконечность скорее имеют смысл, обсуждаемый в словесных текстах (Rothman 1987), нежели величину. Вычисления с участием нуля и бесконечности математически некорректны, поскольку несопоставимы величина числа и смысл слова.

Единица замечательна не только своей ролью универсальной меры для чисел. Так же как безразмерную математическую точку, эллины наделяли ее одними только отрицательными свойствами и не признавали настоящим числом. В качестве первого числа они принимали двойку (Мордухай-Болтовской 1948). У Прокла и затем у Р. Декарта математическая точка имеет всего лишь местоположение.

В числе знак и значение неотделимы как две стороны одной медали. Это могло бы вызвать возражение: цифра 5 имеет значение «пять единиц», тогда как в числе 50 она же означает «пять десятков». В действительности это возражение основано на недоразумении и относится к цифрам, а не к числу: обозначая числа, количество которых бесконечно велико, мы обходимся всего лишь десятью знаками. Цифр могло бы быть столько, сколько чисел — бесконечное количество, как в строго последовательной идеографической письменности. Разумеется, такое означение чисел было бы непрактично. Таким образом, причиной недоразумения служит удобная десятичная система счисления и позиционная система записи чисел.

В отличие от чисел, в словах нет жесткой связи между знаком и значением, и притом не только за счет омономиии и синонимии. Круг смысловых значений отдельных слов, казалось бы, четко очерченный в толковых словарях, не остается неизменным уже для современников, наделенных неодинаковым жизненным опытом, природным умом, воображением, образованностью и пр., и изменяется в историческое время. Принципиально важно, что смысловое поле каждого слова и его истолкование в герменевтике не замкнуты и открыты в будущее как для отдельной личности, так и в жизни общества. Пульсируя, оно отторгает анахронизмы и вбирает в себя новые значения, напоминая тем самым еще нё определенную единицей колеблющуюся «аморфную» величину числа. В этой связи возникает мысль о том, что воображаемая «аморфная» величина — это словесный смысл числа, т. е. звено, соединяющее смысл слова с величиной числа.

Противоположность смысла между антонимами (горячий- холодный) может сократиться до едва уловимых различий (теплый, тепленький) или произвольно расшириться (перегретый, студеный). Тем более сомнительной остается возможность универсальной единицы смысла. Диалекты, идиомы и метафоры не находят каких-либо аналогий в языке чисел. Чего стоит, например, выражение «борьба за существование», понимаемое Ч. Дарвином «широко и метафорически». Так называемая «игра слов» возможна потому, что между звучанием (написанием) слов, т. е. знаками, и их смыслом нет жесткой связи.

В иностранных языках даже однозначные, казалось бы, слова могут иметь неодинаковую валентность, так что точность перевода одного предложения достигается в контексте посредством перераспределения смысла между несколькими предложениями перевода. В современной математике нет ничего подобного иноязычию.

Поскольку между знаком и значением слов нет жесткой связи, смысл словесного текста заключен в соотнесении смыслов слов.

Любые соотнесения (вычисления) чисел, пока в них не участвуют бесконечность, а иногда (при делении) и ноль, дают какое-нибудь число. С этими оіраничениями все числа равно- соотносимы. Это следует из того, что все числа состоят из единиц. Равносоотносимости нет в языке слов. Сочетания слов могут быть бессмысленны, хотя внешне походят на синтаксически правильно построенные фразы и предложения. Возможно, это объясняется отсутствием универсальной единицы смысла.

Каждое число представляет «своего рода исключение» (Пуанкаре 1983а) и различия между числами подобны различиям между людьми (Френкель, Бар-Хилл ел 1966). Числа настолько индивидуальны, что каждое заслуживает неповторимого имени. Индивидуальность чисел состоит в том, что каждое число имеет только одному ему присущую величину, в вычислении которой участвуют индивидуальные для вычисляемого числа выборки чисел. Поскольку бесконечно велико общее количество чисел, количество способов вычисления любого числа тоже бесконечно велико. Вместе с тем, среди вычислений нет одинаковых. Индивидуальность числа раскрывается в обычных вычислениях, которые могли бы считаться своеобразными математическими текстами (предложениями) вроде объяснений смысла одних слов другими словами. Одни числа, как уже отмечалось, получают как бы «истолкование» через другие числа — как в словесных текстах; при этом количество «истолкований» бесконечно. Под «истолкованиями», «соотнесениями», «вычислениями» можно понимать и комбинирование неизменяемых чисел. Каждое число могло бы считаться комбинацией других, например, единиц, двоек, троек и пр.

Соотнесения слов обладают иными свойствами. Среди них нет ничего похожего на аддитивность, ассоциативность, коммутативность и другие правила вычислений. В соотнесениях слов смысл отдельных слов не суммируется и не вычитается, не делится и не умножается, но раскрывается или запутывается, уточняется или обобщается, обновляется или восстанавливается, углубляется или сужается; наконец, переосмысливается. Словом, смысл не «іфисталличен», а скорее текуч, «аморфен».

Не только отдельные фразы и предложения, — тексты и собрания сочинений могут заключать смысл, которого нет в отдельных порознь понимаемых словах и фрагментах текстов. Вне контекста отдельные слова могут утратить исходный смысл и наполниться иным, обновленным смыслом. Например, для понимания Апокалипсиса наши современники пользуются словами, которых нет в Библии: «ракетно-ядерная война», «экологический кризис». Смысл Апокалипсиса неизменно остается открытым для переосмысления.

«Обычное определение числа как суммы единиц уничтожает число в качестве индивидуальной формы...» (Флоренский 1971: 506). Нелишне заметить, что под «определением» здесь можно понимать не только словесную дефиницию, но и определение единицей «аморфной» величины. Ложное впечатление о безликости чисел усиливается от унылой картины числовой оси и натурального ряда, в которых величины чисел возрастают однообразно, ровно на единицу. В таких рядах числа упорядочены по величине и подавлена индивидуальность, неодинаковость чисел. Между тем, в столь плавном следовании свойства чисел меняются отнюдь не плавно, достаточно вспомнить о распределении простых чисел.

Каждое число — «абсолютная единственность» (Успенский 1987). Каждая такая единственность достойна индивидуального имени («числоимена» В. Хлебникова — Дуганов 1990), как звезды на небосводе; но как пользоваться такими неповторимыми числоименами в вычислениях? Если числоимена неповторимы, неодинаковы, — как люди, то среди них действительно не должно быть такого естественного порядка, который опирался бы на одно лишь неравенство величин, как в натуральном ряду.

Поскольку «в числах не задан порядок» (Васильев 1922), натуральный ряд не хуже и не лучше других числовых последовательностей. Оставаясь условностью, «порожденной интуицией» (Вейль 1989), он лишь удобен для упорядочения чисел по интересующей нас величине тем, что не содержит пропусков, как, например, в ряде Фибоначчи.

В некотором смысле результат предшествует вычислению (Бирюков 1985). Действительно, все числа уже как бы предсо- отнесены — все сразу, а не порознь: ведь каждое из них уже есть и результат, и средство вычислений, каждое из них уже «истолковано». Напротив, для истолкования, раскрытия смысла слов требуется время — жизнь личности, общества. Смысл слова неизменно открыт во времени и пребывает в становлении. Напротив, величина числа завершена раз и навсегда и пребывает вне времени — это при бесконечно большом количестве соотнесений-«истолкований» для каждого числа.

Все наши соотнесения чисел, вычисления выборочны. Поскольку они выборочны, постольку искусственны. Что же касается естественного соотнесения чисел, которое считалось бы с их индивидуальностью, то оно скорее похоже на картину звездного неба, ще каждая звезда свободно соотнесена со всеми другими в бездне Вселенной (рис. 7). Такое свободное пространственное и вечное вневременное размещение отвечало бы и абсолютной единственности каждого числа; но как оно отличается от привычной числовой последовательности, которая считается только с неравенством величин...

Зримую картину звёздного неба и воображаемое бесконечное множество чисел сближает отсутствие центра. Точнее, у обоих центр может быть повсюду, тогда как край — нигде (образ бесконечности по Николаю Кузанскому, 2001). Как условный центр для отсчета, ноль устраивает нас постольку, поскольку нас интересуют величины чисел; однако при этом игнорируется индивидуальная соотнесенность каждого числа с прочими числами.

Итак, все числа уже как бы предсоотнесены — ведь каждое число есть и результат, и средство вычислений. Поэтому наша свобода в составлении натурального ряда и любых других числовых последовательностей, и вообще в вычислениях, в большой мере оказывается мнимой. Результаты вычислений, даже очень сложных, остаются новостью лишь для нас — всё уже предсоотнесено. Свобода математического творчества — это свобода поисков уже предосуществленного. Гарант этой свободы — бесконечность количества чисел и их соотнесений, — пребывает вне нас.

В числовых рядах удовлетворяется наш неуемный интерес к уже осуществленным вечным и неизменным законам среди величин чисел. Примером такого закона служит натуральный ряд. Поскольку физические законы природы остаются явными или скрытыми соотнесениями чисел, — удивительное соответствие физической картины мира миру чисел, — постольку законы среди чисел остаются и законами в физической картине мира. Фундаментальные законы физики, вроде законов Ньютона, пока остаются соотнесениями чисел, открываются нами как еще неведомые, но уже существующие острова

З              4

Рис. 7, 1 — Близнецы — группа звезд; 2 — Близнецы как двоичные числа; 3 — Близнецы как троичные и четверичные числа (триангуляция); 4 — Близнецы как мифологический образ (по: Рей 1969)

открывались мореплавателями прошлого (Фреге, по Пуанкаре, 19836). Великий Ньютон законы природы открывал, а не «измышлял».              ..

Подобно тому, как в вычислениях мы мнимо свободно — ведь всё уже предсоотнесено, вычисляем, столь же мнимо свободно мы объединяем звезды в созвездия — ведь мы видим только часть свободно соотнесенных звезд. В созвездиях ви- зуализованы возникающие в нашем сознании мифологические и математические образы (рис. 7). Вместе с именами созвездий в картину звездного неба привносятся имена, словесный смысл мифологических образов. И сколь не прихотливы эти образы, в бездонной Вселенной найдется место для любого из них — так велико количество звезд.

В отличие от чисел, сохраняющих свою величину неизменной в любых соотнесениях, смысл слов существенно зависит от контекста и ситуации. Например, смысл слова «ядро» на страницах физического и гистологического журналов. Однако полисемия, относительная независимость смысла слова от знака, которой нет у чисел, не ограничивается подразумеваемой в данном примере омонимией. Существует и синонимия, когда разные по написанию и звучанию слова имеют одно и то же значение. Вообще, «семантика слов бесконечно изменчива, подвижна, многозначна» (Дмитриева 1962). Идеи и правила, управляющие словоупотреблением, остаются «неотчетливыми, сложными, с неровными и неясными краями» (Геллнер 1962).

Общая неправильность, «турбулентность» языка слов (Гийом 1992) обуславливает нежесткую и, как полагал В. В. Налимов (1974), статистическую связь знака со значением. Иными словами, изменчивую и подвижную связь между ними предлагается определить с помощью неизменяемых чисел с жесткой связью между знаком и значением.

Между тем, у смысла слов открытые границы. Смысл слова, раскрывшийся в, казалось бы, уже понятом тексте, неизменно остается открытым для переосмысления, как открыто течение времени, и таким образом уже понятое на поверку остается всё еще понимаемым. Не сама по себе неоднозначность связи смысла со словесным знаком, доступная статистическому исследованию, а непреходящее состояние «принципиальной незавершимости» (Ракитов 1988) и открытости смысла отличают слово от числа. В свою очередь, эта открытость пребывает в наших размышлениях о смысле слова. Гарант свободы смысла слова — в нас самих.

Смысл слов остается живым и открытым, пока мы не потеряли способность понимать смысл слов, и открытости смысла слов нет вне размышлений. Это именно для нас имеет смысл выражение «смысл смысла» как углубленное переосмыслива- ние (7%е meaning of meaning — Ogden, Richard 1953). Оно неограниченно углубляется с удлинением этого выражения: «смысл смысла смысла...». Неограниченно удлиняясь и преодолевая преходящую конечность, это выражение сохраняет собственный смысл открытым, бесконечно углубляемым, а потому и неопределяемым, как суждение в систематике (Глава 3, рис. 6).

Между тем, так называемая вероятностная неопределенность в статистике точно определена и завершена раз и навсегда потому, что статистика пользуется языком определенных чисел. Поэтому в систематике (Глава 3) статистика создает лишь иллюзию неопределенности.

Основные понятия теории вероятностей обычно объясняются на примере подбрасывания монеты. Доказывается, что

при увеличении количества опытов, соотношение между результатами опытов стремится к пределу «50 : 50». Таким образом, действительно, статистическая неопределенность точно определена, как определено само число 50. Невозможно выразить неопределенность на языке определенных чисел.

Неопределенность остается «истинной идеей бесконечности» (Лузин 1958а: 472), потому что бесконечность не имеет определенной величины; скорее, как идея, она имеет смысл. Определенностью наделен «смысл» словесного текста, пока мы ограничиваемся знанием его буквального значения, т. е. количественной информацией, и не находим в себе силы размышлять о смысле текста. Компьютеру усилий для этого не требуется.

Вслушиваясь в речь или вчитываясь в текст, мы непрерывно раскрываем смысл, казалось бы, уже понятого — отзвучавшего или прочитанного. Но вот мы дочитали текст (определенное количество письменных знаков) или дослушали до конца речь (определенное количество звуковых волн). Может, быть, теперь создались определенные условия для применения статистики и количественного определения смысла уже понятого? Пожалуй, таких условий по-прежнему нет. Теперь мы обдумываем услышанное или прочитанное в ассоциациях нашего духовного мира, личного жизненного опыта, профессиональных знаний и даже настроения — только потому смысл слова и остается живым; и теперь уже внутреннее беззвучное размышление раскрывает смысл, казалось бы, уже понятого и завершенного. Не это ли произошло с Ч. Дарвином по прочтении брошюры Т. Мальтуса? Не это ли происходит и с нами, когда в свете идей семиотики мы переосмысливаем написанные Ч. Дарвином тексты?

Бытующее в гуманитарной литературе выражение «живое слово» не следует считать всего лишь метафорой. Смысл слова остается живым, пока жива мысль о смысле слова: смысл жизни человека вживлен в смысл слов в той же мере, в которой смысл слова живет в духовном мире человека. В Новом Завете смысл жизни — это смысл слов.

В мире и до человека осуществлялись законы природы, открываемые ныне как соотнесения чисел, но в мире до человека не было слов и смысла — как в картине звездного неба. Смыслонесущие слова привнесены в мир человеком, и в них заключен словесный смысл окружающего мира и жизни самого человека. Весь окружающий мир и открываемые человеком научные законы природы осмысливаются и постоянно переосмысливаются в словесной картине мира, включающей и самого человека («смысл смысла...»). Поэтому утрата человеком смысла собственной жизни равнозначна обессмыслению всего, что его окружает. В свою очередь, словесный текст Библии, объясняя смысл человеческой жизни, объясняет и весь мир. В таком случае, действительно, «вне нашего сознания, т. е, объективно, времени нет» (Челпанов 1910). Идею времени создает «последовательная смена потенций сознания» (Флоренский 1910: 166) в живой мысли о «смысле смысла...».

Как уже было отмечено, в языке слов есть части речи, и что-либо подобное отсутствует в языке чисел. Существительные, прилагательные и местоимения обозначают вещи и понятия. Показательно, что к существительным относятся и числительные, словесные названия чисел. Глаголы обозначают действия и временные состояния вещей и понятий. Первые образуют «универсум Пространства», вторые — «универсум Времени» (Гийом 1992). Слова не только изображают звучанием («гром грохочет»), как римская цифра III зрительно изображает величину количеством черточек, но и выражают наше переживание пространства и времени: время — «быстротекущее», «неумолимый бег времени», пространство — «необъятное», «загадочное». В круг понятий, к которым выражается отношение, попадают и числа — «иррациональные», «простые», «сложные», «магические», «дружественные» и пр. Между тем, в математике они остаются всего лишь условными названиями определенных классов чисел, и заключенный в их названиях смысл, наши переживания и чувства, вызываемые числами, не имеют никакого значения для математики. Классы чисел могли бы называться как-то иначе, числами же (нумерация).

Слова не только изображают, но и выражают наше отношение к миру. В живой выразительности слов, которая причудливо меняется в контекстных соотнесениях, осуществляется одушевленность человека, его глубокая вживленность в окружающий мир, вовлеченность в поток событий, беспомощность перед судьбой, понимание иллюзорности собственной исключительности, наконец, переживание неумолимо текущего времени и смерти, надежда.

Глаголы обозначают действия и временные состояния даже таких отвлеченных понятий, как время и пространство: время — «истекает» («истекло», «истечет»), «останавливаете») («остановилось», «остановите»)), пространство — «раскрывается» (раскрылось», «раскроете»)). Свободное воображение наделяет прошлое чертами будущего — «непредсказуемое прошлое», а будущее — чертами прошлого — «воспоминания о будущем»; в этих выражениях есть словесный смысл, но нет определенного, так называемого физического смысла.

Устанавливаемый нами «временной порядок возможен в такой области, которая не имеет никакого пространственного порядка, а именно в сфере психического опыта человека» (Райхенбах 1962). Действительно, мы распоряжаемся понятием времени как личным достоянием: еще не умерев, переживаем смерть близких глубже и острее, чем свою собственную. Таким образом, время не вне нас, а в нас самих.

Три основных времени делают глаголы пригодными для выражения течения времени — прошлое, настоящее и будущее. Они же выражают и нашу соотнесенность со временем: это для нас время уже прошло, продолжается, наступает. Больше того, в словах выражено и наше переживание нашей же соотнесенности со временем: это для нас «прошлое — безвозвратно», «настоящее — преходяще», «будущее — неотвратимо». Отношение к собственной соотнесенности похоже на «смысл смысла...». Наречия позволяют выразить переживание вечности — «навсегда», «никогда»; в них заключены присущие человеку чувства отчаяния, смирения, надежды.

Смысл в словах служит не только для логического самопонимания собственного внутреннего мира, но и для этической самооценки и выражения эстетического самопережива- ния; это называется «долг», «стыд», «грех». Словам доступно не только логическое понимание вечного вневременного мира через так называемую научную объективность, — пожалуй, самый выразительный образ вечного мира — это звездный небосвод; в словах мы выражаем этическую оценку и эстетическое переживание мира. В этом смысле слова оживляют, овременяют мир, и в словах живет сама жизнь.

Поэтому вполне естественно, что по смыслу два выражения равноправны: «смысл слова» и «смысл жизни». Они замы

каются выражением «жизнь слова». Три выражения образуют триаду «слово — жизнь — смысл», которая организует смысловое поле понятия времени. Смысл отдельных СЛОВ триадьт взаимно раскрывается в их соотнесениях.

Что же касается чисел, то их значение пребывает вне времени. Числа отдалены от нас, как звезды на вечном небосводе. Они безучастны к нашей жизни, как якобы предначертанная на небесах судьба, как даты рождения и смерти.