Глава 8 Пространственность числа

Число есть символический прообраз вещей.

Николай Кузанский. 1979

Химическое вещество, химическая субстанция есть не что иное, как тень числа.

Башляр Г. Новый рационализм.

Существуют разные видения чисел. Например, в формальной логике, как заметил Б. И. Карпенко (1979), единицы, образующие множество, тождественны. Очевидно, что из таких единиц состоит уже обсуждавшееся количественное (величинное) число. В статистике принимается, что наряду с признаками, обязательными для всех единиц множества, единицы имеют признаки подмножеств и даже индивидуальные особенности. Количественное и статистическое видения чисел не считаются с пространственным размещением единиц в числе. Нет его и в порядковых числах, которые, казалось бы, упорядочены течением времени, потому что счет, как могло бы показаться, совпадает с течением времени. На самом деле, в отсчете времени числа остаются всего лишь произвольными названиями мгновений вроде словесных названий времени суток (утро, полдень и пр.), дней недели, месяцев, исторических и геологических эпох, лет по лунному календарю и пр. Их можно было бы называть и именами звезд. Так называемый обратный отсчет времени ничуть не хуже прямого, хотя и не всегда удобен.

Величина числа сама по себе отнюдь не выражает и не изображает количество времени. Например, 5 может быть и количеством лет, и суток, и секунд... Очевидно, мы лишь договорились обозначать неповторимые мгновенья необратимого течения времени индивидуальными числами натурального ряда. Натуральный ряд искусственен как и другие числовые последовательности, как любая другая выборка чисел. В написании и назывании чисел ряда нет такого порядка, который был бы создан течением времени. «...Переход от одного числа натурального ряда к другому не имеет отношения к протяжению во времени» (Лосев 1994: 104). Наконец, допуская возможность глубокого сродства между течением времени и натуральным рядом, мы не находим в научной картине мира такого ясного начала, которое есть у натурального ряда.

Может быть, время есть внутри самих чисел?

Наїло сознание принимает число вместе с тем готовым, но всего лишь воображаемым пространством, в котором каким-то образом размещены единицы числа. Это воображаемое пространство внутри чисел могло бы называться пространственностью. Пространственность — это не только сами единицы, но еще и отношение соседства между единицами. Однако, как будет показано, и в соседстве единиц тоже нет времени.

Пространственная природа чисел отчетливо проявилась уже в письменности Древнего Египта и Древнего Вавилона.

ч

В клинописи (рис. 8) цифрами служат так называемые клинышки, величина числа есть количество клинышек. Таким образом, различие между знаком и значением сведено к минимуму; зрительно воспринимаемый пространственный знак —- это почти то же, что и обозначаемое им количество; разумеется, различие между изображением и изображаемым всё же сохраняется. Клинопись адекватна природе чисел. Подобной гармонии знака и значения, определенной величины и цифры, нет в обычной удобной цифровой скорописи.

1              2              3              4              5              6              7              8

'ттгтгттт"Rff

2+3              =              2

ТГ ТГТ 45ft

Рис. 8. Клинописные цифры 1-9. Сложение обозначаемых клинышками чисел выглядит как пространственное объединение цифр

Зрительному восприятию доступны и вычисления клинописных чисел. Они воспринимаются как пространственные объединения пространственных же знаков (рис. 8). В свою очередь, объединяемые знаки уже есть объединения, комбинации других знаков. Подобная изобразительность только отчасти доступна древнеримской и современной цифровой письменности; но вместо клинышек в них поначалу были использованы пальцы рук.

Изобразительность пространственного знака лежит в основе иероглифической письменности, в какой-то мере удобной и понятной, пока изображаются предметы, имеющие пространственную определенность, четкие и выразительные очертания; собственно иероглифы обозначают понятия, а не звуки. Принципиальные трудности возникают при попытке изобразить временные действия, состояния, процессы, в действительности не изобразимые. Песочные часы, например, могут служить символом времени, но они не изображают само время. Можно изобразить траекторию планеты за год, но невозможно изобразить сам год без траектории. Изображению поддаются пространственные следы времени, однако нельзя изобразить само время.

Любой письменный знак остается пространственным и вневременным в том смысле, что для изображения значения знаку не требуется времени. Письменный знак не может изобразить текущее время потому, что означает своим неподвижным изображением, пространственностью. То обстоятельство, что для речения и письма, для восприятия и усвоения значения устных и письменных знаков требуется время, относится к нам самим, к физиологии высшей нервной деятельности человека; но сами знаки тут не причем. Возьмем, к примеру, письменный текст, и притом неважно, какой именно, словесный или числовой. Значение текста остается вне времени; это нам требуется время, чтобы прочитать и понять смысл, значение текста.

Разумеется, вид обычной цифры, ее изобразительность и подразумеваемая ею внутренняя пространственность числа — не одно и то же. Больше того, пространственная изобразительность не только обычных, но и клинописных цифр на рис. 8 подчинена требованиям удобства написания и лишь наводит на мысль о той внутренней пространственности, которая заключена в числах самих по себе.

Такое наивное видение чисел и вычислений, как в клинописи, утрачено современной высокоабстрактной теорией чисел, которая вытеснила арифмологию и использует сложнейший аппарат едва ли не всей математики (Шафаревич 1993). По-видимому, это отразилось на арифметике.

Совсем иной, наивный подход к числу как чувственно осязаемому образу был свойственен античной, по преимуществу геометризованной математике (Лосев 1993; Шпенглер 1993). В свою очередь, поводом для вынужденной геометризации послужило открытие эллинами несоизмеримости диагонали и стороны единичного квадрата. Оно свидетельствовало об ограниченных возможностях натуральных чисел как средства изучения реальности.

Идеальным объектам, какими остаются числа, эллины поставили в соответствие реальные камешки и точки на песке.

it *              >              *

* lt; '              »              ^              «              ¦              gt;              ж              4              >              і:              4

Іс 4              >              *              lt;              >              *

it «              >              *

*

it lt;              >              it              lt;              >*              lt;

gt; *

it 4              —gt; «fe

*

\/\/

it *                                          —> it

*¦= 1 *

.

*

\v

/120

*чgt;

*

Рис 9. Фигурные числа: двоичные (одномерные) числа 2,3,4, троичные (двумерные) числа 3, 6, 10, четверичные (трехмерные, тетраэдрические) числа 4, 10, 20. Чтобы не перегружать рисунки, часть соседств

не изображена

10

*

Если бы такого соответствия не существовало, то идеальные но своей природе числа не были бы пригодны для измерения реального пространства и счета реальных предметов. Античная арифмология приземлена не меньше верований эллинов, их представлений о жизни Олимпийцев, погрязших в интригах и склоках.

Наглядные геометрические образы для натуральных чисел предложены Диофантом (Веселовский 1947) и П. Флоренским (1916), однако внутренняя пространственность в самих числах открыта Никомахом, Теоном Смирнским, Ямвлихом (Жмудь 1990; Flegg 1984). Числа с доступной для изображения пространственностью получили название фигурных чисел — треугольные, квадратные, пирамидальные (тетраэдрические), пятиугольные и др. (Матем. энцикл. словарь 1988).

Так же как реальное и перцептивное пространства, фигурные числа имеют пространственность: 1-мерную протяженность в двоичных числах («тропинка протянулась»), 2-мерное простирание в троичных числах («поле простирается»), 3-мерную объемность («колея заполнена водой)» в четверичных пирамидальных (тетраэдрических) числах. Для измерения такой пространственности служат эталонные двоица, троица и четверица. Таким образом «...арифметика делится на рассмотрение чисел линейных, плоских и объемных...» (Прокл 1994: 113).

С одной стороны, такое видение множества единиц числа могло бы показаться условностью вроде объединения звезд в созвездия.

Эталонная двоица воображается и изображается как две точечные единицы. Какие бы усилия мы над собой не предпринимали, две единицы нельзя вообразить и изобразить так, чтобы между ними не было отношения соседства, притом непосредственного. Отношение соседства точек, обозначенное стрелкой, и есть протяженность (рис. 9).

Величина эталонной протяженности в двоице равна одному соседству. В тройке, изображаемой и воображаемой как соседство, т. е. как объединение (не сумма) двух двоиц, величина протяженности равна двум соседствам. Связность (цельность) двойственных чисел основана на объединенности единиц. Например, в двоице связность выражается в том, что у двух единиц имеется только одно общее и притом взаимное соседство. В тройке связность сохраняется еще и потому, что средняя точка принадлежит обеим двоицам; только поэтому тройка и остается непосредственным соседством двух соседств. Опосредованные соседства точек и соседств впервые появляются в протяженном числе 4. Симметрия двоицы есть симметрия точек и их единственного взаимного соседства, поэтому двоица имеет пространственную форму. В двоичной тройке имеется точечный центр симметрии опосредованно соседствующих точек и симметрия непосредованно соседствующих соседств. Таким образом, протяженность есть соседство точек.

Эталонная троица (не тройка) (рис. 9) воображается и изображается как объединение трех непосредственно соседствующих точек, двоиц. Они образуют треугольник. Вопреки всем ухищрениям, наше воображение не может создать иного образа непосредственного соседства трех двоиц. Такое соседство протяженных двоиц и есть простирание. В троице каждая точка принадлежит соседним двоицам, а каждая протяженность — двум соседним точкам; простирание же принадлежит троице в целом. В этом выражается связность троицы. Величина простирания в троице равна одному простиранию. Простирание следующего за троицей треугольного числа 6, измеренного эталонной тройкой, равно 4 троицам. Связность треугольных чисел достигается не только соседством, объединенностью (не суммированием) единиц (в троице), единиц и соседств (в троичном числе 6), но и простираний (в троичном числе 10). В троичном числе 10 связность выражается в том, что через пунктированные простирания (рис. 9) объединены 3 троичных числа 6. Свою симметрию троица получает от симметрии соседних двоиц: их оси симметрии, пересекаясь, образуют центр радиальной осевой симметрии троицы. Поскольку число 6 есть объединение троиц, в обстройке вокруг срединной троицы центры симметрии размещены так, что сохраняется радиальная симметрия эталона — симметрия радиальных осевых симметрий трех троиц. Радиальная осевая симетрия троичных чисел задается симметрией эталонной троицы.

Эталонная четверица есть объединение четырех непосредственно соседствующих троиц. Она воображается и изображается как тетраэдр или пирамида (рис. 9). Иных геометрических образов для объединения 4 непосредственно соседствующих точек и 4 соседствующих простираний наше воображение создать не может. Связность четверицы выражается в том, что каждое соседство (ребро) принадлежит двум соседним простираниям, каждая точка (вершина) принадлежит трем смежным протяженностям (граням). Симметрия четве- рицы задается радиальной осевой симметрией простираний, центр симметрии четверицы определяется как пересечение осей радиальной симметрии 4 простираний (граней). Последующие четверичные числа получатся обстройкой вокруг эталонной четверицы, как вокруг троицы. Второе четверичное число, 10, складывается из 8 пирамид и тетраэдров (рис. 9). При дальнейшей обстройке тетраэдрами (пирамидами) получится третье четверичное число, состоящее из 20 единиц. Оно образовано 22 эталонными телами.

Связностью четверичные числа наделены не только вследствие объединенности точек (вершин) и соседств (ребер), но еще и вследствие объединенности простираний (граней). В числе 10, например, смежные грани принадлежат сразу двум соседним телам. Число 10 имеет центр симметрии в окружении центров симметрии 8 чисел (тел). Центр симметрии третьего пирамидального числа, 20, задается центрами симметрии оіфужающих центр эталонных тел.

Итак, в общем случае протяженность — это соседство

2. точек в эталоне и объединение соседних эталонных протяженностей. Простирание — это непосредственное соседство
3. протяженностей в эталоне и объединение соседних эталонных простираний. Объемность — это непосредственное соседство 4 эталонных простираний в эталоне и объединение соседних объемностей. Фигурные числа имеют дискретную величину, определяемую количеством протяженностей, простираний и объемностей. Они наделены связностью, обладают формой, симметрия которой заложена в эталоне, и самоподоб- ны в том смысле, что сохраняют свойства эталона в своих отдельных частях и в объединениях частей. Измерение фигурных чисел заключается не в измерении безразмерных точечных единиц, а в подсчете соседств между точками (для протяженности), между соседствами (для простирания), между простираниями (для объемности). Поэтому если нас интересует не одна только величина, а пространственность чисел как прообразов реальных вещей, безразмерную точечную единицу не следует принимать в качестве настоящего числа — как это и делали эллины.

Хотя различия между эталонами, казалось бы, определимы в числах — количество непосредственных соседств, различия между ними принципиальны, качественны.

Простиранием, например, нельзя определить величину объемности. Простирание троицы нельзя превратить в объемность четверицы, потому что число 3 (соседства), определяющее троицу, вообще неизменяемо. Его нельзя превратить, например, в 4 (соседства): 3 и 4 — абсолютные единственности.

Значение числа — это не одна лишь величина, а пространственность как триединство величины (количество единиц), симметрии формы, связности (целостности) (рис. 10).

Континуальные связности дискретных точечных единиц и соседств, а также образованных ими протяженностей, простираний и объемностей, индивидуальны в каждом числе. Ими различаются, например, равновеличинные двоичная тройка и эталонная троица.

Все натуральные числа наделены пространственностью постольку, поскольку состоят из единиц и соседств. Вычисления и числовые ряды — это соотнесения не только величин, но и неявно разных пространственностей.

Три составляющих значения числа определяются по-разному в зависимости от эталонов, например, величина троицы.

симметрия

геометрия

измерение

величина

арифметика

вычисление

обобщенность алгебра обобщенное вычисление

Рис. 10. Триединое значение числа, три раздела математики, три

способа соотнесения чисел

Она зависит от выбора эталона. Выше эталоном служило изображение точки. Однако им может служить и половина точки, и тогда величиной троицы будет 6. Но и число 6 остается пространственным, как и реальные вещи.

В фигурных числах раскрывается пространственная природа числа как триединство дискретности точек (величина), континуальности соседств (симмєірия) и континуальной связности (целостности) дискретных точечных единиц (рис. 10). Благодаря триединству, числа пригодны для изучения реальных вещей и пространства, наделенных свойствами дискретности (счет), континуальности (измерение) и связности (отношение континуального соседства дискретных точек и соседств). По- видимому, они соответствуют трем традициям математики: арифметике (величина, счет, дискретность), геометрии (размер, измерение, континуальность), алгебре. Действительно, в алгебре осуществляются обобщенные операции с обобщенными числами. Операции с фигурными числами остаются

обобщенными потому, что в фигурном числе присутствует дискретная величина и континуальная симметрия.

Фигурные числа размещены на диагоналях треугольника Паскаля (Бондаренко 1990; Green, Hamberg 1986). Ниже диагонали для четверичных чисел проходят диагонали для пятеричных, шестеричных и других чисел, и количество таких диагоналей бесконечно. Четверичные числа наглядно символизируют наш реальный трехмерный мир, к которому, однако, принадлежат и изображения всех прочих фигурных чисел, состоящие из реальных частиц типографской краски. Напротив, присутствующий в нашем сознании триединый словесный смысл числа «вообще», знак (рис. 10), совершенно «аморфен».

К фигурным числам условно приложимы те понятия, которыми пользовался JI. Эйлер в своих знаменитых характеристиках: вершина, ребро, грань. Фигурные числа, прежде всего тетраэдрические, можно сравнить с кристаллами. Неподвижность, вневременная гармония «кристалличных» чисел, привлекшая внимание Платона, сохраняется и в их соотношениях — в пропорциях («золотое сечение»), в их зримом воплощении в зодчестве и ваянии. Вместе с тем фигурные числа — это своего рода созвездия точек.

Многогранники, в частности пять Платоновых тел, — это геометрические образы троек разных чисел (вершины, ребра, грани), наделенных собственной пространственно- стью. Они могут считаться визуализацией математического текста характеристик Эйлера. Хорошее изображение многогранника как своеобразного математического текста зачастую трудно отличить от вида реальных кристаллических тел. Эта иллюзия наводит на мысль, что различие между реальным физическим и абстрактным, казалось бы, числом, не столь уж велико.

О возможной достаточности эталонов для измерения пространственное™ всех натуральных чисел могло бы свидетельствовать следующее соображение.

Николай Кузанский (1979: 2, 3, 10), имея в виду количественное™, заметал, что натуральный ряд «исчерпывается» четверкой чисел, 1, 2, 3, 4, потому что все прочие до 10 включительно получаются сложением чисел четверки. Четверка первых двузначных чисел — 10, 20, 30, 40 — дает все круглые двузначные числа до 100 включительно, четверка первых сотенных чисел — до тысячи включительно и т. д. Поэтому можно допускать, что для измерения пространственности всех натуральных чисел достаточно лишь первых трех фигурных чисел и единицы. Если пространственность есть свойство всех чисел, то выражение «пространственные фигурные числа» не вполне удачно, потому что им допускается существование непространственных чисел.

Далее звезды, свободно размещенные на небосводе (рис. 7), можно объединить в различные треугольники (триангуляция) и (или) в тетраэдры и неравносторонние пирамиды. Уточнение о неравенстве сторон могло бы показаться существенным в связи с тем, что расстояния между точками на рис. 9 показаны равными, будто это само собой разумеется. В действительности же стрелки между точечными единицами остаются всего лишь условным обозначением отношения соседства и поэтому уточнения не требуется.

Соседство единиц фигурных чисел — это визуализация врожденной идеи пространства, которой наделено наше сознание. Эту идею можно было бы считать врожденной постольку, поскольку сознание пользуется пространственным субстратом в виде мозговой ткани. Поэтому возникающие в сознании образы могли бы сохранять пространственность. В действительности же, от реальных пространственных форм образы отличаются «аморфностью». Она состоит в том, что воображаемые точки и соседства не имеют определенных размеров и величин. Определенность возникает сама собой в реальных изображениях: изобразить — значит определить. Изображения чисел зримы и даже осязаемы. Ими можно обмениваться как вещами. Наоборот, воображаемые числа эфемерны. Они возникают, когда мы ими интересуемся, и исчезают, как только мы утратим к ним интерес.

«Воображение без особого труда создает образ двоицы. Однако воображению не удается зафиксировать в двоице величину отдаленности точек, которая сама собой подвержена растяжению, сжатию и расплывается, как и размеры самой точки. Сходным образом представляются воображению как бы текучие и не определяемые троица и четверица. Они похожи на „аморфные" величины».

Этот фрагмент авторского текста можно считать словесным «описанием» воображаемого числа.

Совсем иными свойствами обладают изображения фигурных чисел (рис. 9). Так же как реальные тела, любые изображения имеют размеры, определяемые, например, в миллиметрах. Определяемостью любое изображение не отличается от металлического эталона метра, хранимого в Парижской обсерватории. Как и эталон метра, любой пространственный знак, например, точечную единицу на рис. 10, можно подразделить на 100 частей — «подэталонов», затем еще раз на 100 и т. д. Как бы далеко — до ангстремов и дальше, не зашел бы процесс определения пространственного знака и эталонного стержня произвольными «подэталонами», последние обязаны сохранять реальную протяженность. В противном случае, эталон и знак, состоящие из непротяженных частей, сами утратят протяженность и будут непригодны для измерения реального пространства. Соединяя в себе дискретность и континуальность, изображения фигурных чисел сами поддаются счету и измерению и могут служить эталонами, и потому пригодны для счета и измерения реальных вещей.

Эталон метра потому пригоден для определения физических тел и процессов, что сам определен: он и результат, и средство определения — как числа в вычислениях, как физические тела во взаимных соотнесениях (перемещениях). Физическое тело (в данном случае металлический стержень) и пространственный знак фигурного числа имеют то общее, что оба определены и взаимозаменяемы как результат и средство измерения. Как эталон, металлический стержень всего лишь удобнее изображений фигурных чисел или каких-либо других пространственных знаков. То обстоятельство, что современная наука вместо металлического стержня пользуется квантовым эталоном длины, не отменяет этого заключения. Эталон, изображение фигурного числа и физическое тело в равной мере остаются объектами и средством исследований физических объектов. Всё пространственное уже определено вследствие определенности самого пространства. Р. Декарт (1953:468) прав: «Величина разнится от имеющего величину, а число от исчисляемых вещей лишь в нашем воображении».

Математический язык физики столь же пространственен, что и объекты физики. Вследствие этого в физике достигнута семиотическая адекватность: пространственное изучается пространственным же, средство изучения и изучаемый объект имеют одну ту же — пространственную, природу. Физическое знание потому поддается означению в пространственных знаках, что оно само есть знание о пространстве. Неудивительно, что между физикой и математикой сохраняется глубокое единство, что формулы физики суть математические формулы.

В этой связи следует вернуться к закону «художественной семиотики», который связан с именем Г.-Э. Лессинга (1904). Им выделены разные виды искусств: временные (музыка), пространственно-временные (хореография) и пространственные (зодчество, ваяние). Здесь семиотическое соответствие состоит в том, что изобразительные средства разных видов искусств соответствуют тому, что изображается.

Поскольку в воображении фигурные числа лишены определенных размеров, у нас в сознании пребывает не само число, а «неопределимый прообраз пространственности числа». Эти заключенные в кавычки пространственные знаки обозначают словесный смысл числа (рис. 10), который обсуждается в литературе о природе числа. Примером могут служить тексты Плотина (1995) и комментарий к ним А. Ф. Лосева (1923: 452): «число как сущее (смысл) и как количество». Следовательно, есть слова о числе, и в них заключен словесный смысл числа. С другой стороны, есть числа с их числовым значением. Они самодостаточны и не нуждаются в словах, потому что означают своим изображением. Особенно наглядны изображения фигурных чисел.

Изображая воображаемые прообразы чисел, мы тем самым (спасиализуем) прообраз числа в знаке-числе. Тем самым мы выводим число в пространственное существование среди других реальных вещей.

Пифагорейское «всё есть число», скорее всего, подразумевает всё пространственное, включая изображения фигурных чисел. Среди разных пространственных знаков и тел только фигурные числа имеют триединство величины (дискретность, счет), симметрии (континуальность, измерение), связности (континуальная связность дискретных точек, протяженностей, простираний); притом триединство изображено в знаке просто и ясно. Этого нет в обычном скорописном переозначении фигурных чисел и в поразительно сложных телах живых существ. Благодаря наглядности, фигурные числа сохраняют статус посредника между смыслом числа, который осознается, но не ощущается, и реальными вещами, которые ощущаются как дискретность и континуальность — в принципе такие же, как в фигурных числах. Фигурные числа не есть всего лишь условный знак, и не только пространственное изображение означаемого ими пространства: общезначимое изображение фигурного числа, отделенное от конкретности обозначаемых предметов, и есть само значение числа. Общезначимое фигурное число есть пространственный символ всего пространственного.

Означение числовых текстов изображением особенно наглядно в геометрических чертежах и изображениях кристаллов; однако, опять же, такого ясного означения нет в поразительно сложных тепах организмов и в привычной цифровой скорописи.

Наша способность вообразить идеальную безразмерную математическую точку, возможно, уже доказывает неопределимость воображаемого образа числа, его внепространствен- ное существование. Она же подкрепляет предположение о безразмерность мысли о любом воображаемом пространст

венном знаке и пространственном явлении, а также внепро- странственность мышления: ведь мы мыслим смыслами.

То, что не поддается пространственному рисуночному изображению, имеет единственную возможность означиться — в звуке (Блумфильд 1968). У нас нет иной возможности делиться невидимыми мыслями, чувствами и переживаниями, как только спасиализовав их в тех или иных знаках. При этом, наряду со спасиализацией в письменных знаках, мы пользуемся и звуком, речением. Оно невидимо, занимает какое-то время и таким образом, мошо бы показаться, принципиально отличается от чисто пространственного письменного означения.

Для означения времени звуки как временные знаки кажутся подходящими потому, что звуки имеют по меньшей мере заимствованные у времени признаки (Де Соссюр 1977). Пригодность звуков для выражения времени могла бы состоять не в том, что физиологическое восприятие звуков происходит во времени, а в том, что звучание само по себе является временным процессом. Различие между письменным знаком и звучанием знака то же, что между физическим телом и физическим процессом.

Звук — это физический процесс, попеременное уплотнение и разряжение воздуха. Поэтому могло бы показаться, что речение — это особое означение физическим процессом, для которого — это представляется бесспорным, требуется время. Пусть письменные тексты (словесные и числовые) остаются вне времени, как вещи; но для озвучения их значения и смысла — это представляется очевидным, необходимо время. Таким образом, речение как будто всё же причастно ко времени.