3. ОПЕРАЦИИ НАД ТЕНЗОРАМИ

В этом параграфе мы займёмся тензорной алгеброй, то есть рассмотрим основные инвариантные операции, позволяющие по тензорам составлять новые тензоры. Инвариантность этих операций нужно понимать в том смысле, что, примененные к данным тензорам, они дают в результате вполне определённый тензор, не зависящий от того, в какой координатной системе происходит выкладка.

Р а в е н с т в о т е н з о р о в понимаем как равенство форм. Тензоры равны тогда и только тогда, когда в данном базисе равны их компоненты одинаковой структуры (например, ковариантные).

Н у л ь - т е н з о р - это тождественно равная нулю форма. Очевидно все её коэффициенты любой структуры - нули (в любом базисе).

С л о ж е н и е т е н з о р о в - это сложение форм от одинаковых аргументов, то есть, если то форму h называют суммой форм f и g. В координатах:

или

(3.1)

Поскольку равенство (3.1) справедливо при произвольных оно эквивалентно равенству

, (3.2)

которое задаёт компоненты суммы тензоров как сумму компонент одинаковой структуры. Складываются всегда тензоры одной валентности, а при задании суммы через компоненты суммируются компоненты одной структуры с одинаковыми индексами. Например,

У м н о ж е н и е т е н з о р о в - это умножение форм

с заданным порядком следования аргументов. Обозначается .

При умножении тензоров компоненты (неважно какой структуры у каждого сомножителя) перемножаются. Заданный порядок аргументов у произведения форм задаёт порядок индексов у произведения компонент:

Если , то .

С и м м е т р и ч н ы е и к о с о с и м м е т р и ч н ы е т е н з о р ы. Если полилинейная форма не изменяется при перемене местами двух её аргументов, например

то говорят, что она симметрична по этой паре аргументов. В координатах при этом будем иметь

откуда , то есть симметрия полилинейной формы по паре аргументов влечёт за собой симметрию её коэффициентов соответствующей паре одноимённых (ковариантных либо контравариантных) индексов. Обратное очевидно.

Полилинейная форма называется симметричной, если она симметрична по каждой паре аргументов: симметричной форме соответствуют симметричные по всем ковариантным (либо контравариантным) индексам коэффициенты.

П р и м е р. - метрическая форма пространства - симметричный тензор.

Тензор называется кососимметричным по первому и третьему аргументам, если для

Это свойство эквивалентно косой симметрии его компонент по соответствующим одноимённым индексам, например

Тензор называется кососимметричным (косым), если он кососимметричен по любой паре аргументов (его компоненты кососимметричны по любой паре одноимённых индексов).

С и м м е т р и р о в а н и е. Произвольному тензору второй валентности сопоставляется симметричный тензор по формуле

Эта операция называется симметрированием. С симметрированием тензора приходится иметь дело в тех случаях, когда его аргументы отождествляются. Именно, если

билинейная (вообще говоря, не симметричная) форма и мы строим квадратичную форму , то

С в ё р т к а - специфичная операция с компонентами тензора, которая не укладывается в операции с формами.

Зафиксируем в компонентах тензора ковариантный и контравариантный индексы и произведём по ним суммирование:

Эта операция называется свёрткой тензора по отмеченной паре индексов. Покажем, что в результате свёртки получится тензор валентности на две единицы ниже.

Если свёртка производится в произведении тензоров по индексам, принадлежащим различным множителям, то в этом случае говорят о свёртке двух тензоров по отмеченным индексам.

Это основная тензорная операция!

П р и м е р.

(поднятие индекса)

Если у тензора одинаковое количество ковариантных и контравариантных индексов, то, попарно их, сворачивая, получим величину, не содержащую индексов, то есть не меняющуюся при замене координат - инвариант.

П р и м е р: .

Инвариант - это какая-то геометрическая характеристика.

А л ь т е р н и р о в а н и е. Операция альтернирования состоит в сопоставлении произвольному тензору (либо ) кососимметрического тензора (соответственно ) по формуле

Каждый тензор второй валентности представим в виде суммы симметрического и кососимметрического тензора:

=+