Возможна ли линейная функция спроса?
кто может выпрямить то, что Он сделал кривым?
(7:13 Екклесиаст) Плотник .. протягивает по нему линию
(44:13 Исаия) и выселил .. всех плотников (24:14 4-я Царств) Не плотник ли Он...?
(6:3 От Марка)
Пол Самуэльсон писал в своём учебнике (повторяю): "Графики - это важный инструмент для современной экономической теории.
Они обеспечивают удобное представление данных или зависимостей между переменными". И там же: "Они так же необходимы для экономиста, как молоток для плотника". Покажем, что плотницкие традиции (в смысле топорная работа в интерпретации моделей), не чужды и Жану, который графики заменил на сложные формулы.В своей книге Жан использует в расчётах линейную функцию спроса, заявляя (повторю): "Частные формы функций (таких как линейный спрос) я предпочитал общим". Покажем, что это весьма грубое предположение, которое не соответствует сущности рыночных отношений. Пусть, при моделировании спроса на некоторый товар, вы эмпирически установили, или же доказали, исходя из некоторых свойств этого товара, что существует некоторая цена: D, выше которой спроса нет и быть не может. Поскольку спрос падает с ростом цены, то естественно в первом приближении принять для аппроксимации функции спроса линейную зависимость от цены: η = Ν·(1 - x/D), где: η - спрос; N - "масштаб рынка" (в терминологии Жана); х - цена. И действительно, при: х = 0 спрос максимальный, а при X = D- спроса нет. Варианты: х > D тем более не реальны, поскольку (из "физики" рынка данного товара) должно быть: 0 < х < D.
Рассмотрим прибыли контрагентов при себестоимости товара: s и цене: х. Для прибыли продавца (с точностью до "масштаба рынка") имеем соотношение: Q ~ (х - s)»(1 - x/D), откуда дифференцированием находим оптимальную цену: х0 = D»(1 + s/D)/2, при которой продавец имеет максимальную прибыль: Qo ~ (хо - s)»(1 - x0/D) = D*(1 - s/D)2/4. Прибыль у покупателя будет другой, она равна "площади треугольника", на участке цен: (x...D) под линией спроса, и составит: Qn ~ D*(1 -x/D)2/2, или в "точке" оптимальной цены продавца: Qn ~ D»(1 - x0/D)2/2 ξ D*(1 - s/D)2/8.
Как видим, рынок с линейной функцией спроса, хронически перекошен по его прибыльности для контрагентов в сторону продавца: Q0 = 2*Qn, и потому, долго существовать в этом состоянии не может - покупатели уйдут на другие рынки. Поэтому продавцы должны будут снизить цену ниже оптимальной (для выравнивания прибылей своих и покупателей), и нести от этого убытки, что тоже обвалит этот рынок. А выход из "противоречия" простой: этого рынка, точнее, рынка с линейной функцией зависимости спроса от цены быть не может, ибо он в любом случае перекошен по прибыли его участников, или не оптимален для продавцов.Можно показать, что и нелинейная зависимость спроса от цены: η ~ (1 - x/D)m, не решает проблему, ибо оптимизация цены и равенство прибыли продавца и покупателя по параметру: m приводит к уравнению: (т + 1) = т, - вообще не имеющему решений. Не даёт результата и аппроксимация спроса: η ~ (1 - x/D)»Exp(-m»x). Скорее всего, наверное можно доказать, что функций спроса с наибольшей предельной ценой: D (при условии наличия оптимальной цены и равной прибыли у контрагентов) не существует, но это задача для профессионалов.
Предложенный критерий выбора аппроксимирующей функции спроса (равенство прибыли контрагентов при одновременном выполнении условия максимума прибыли) должен нам дать некоторый класс приемлемых аппроксимирующих выражений, что, как минимум, позволит устранить произвол в сфере теории спроса и предложения. Я этой проблемой не занимался.
3.11.