Модель рынка взаимозаменяемых товаров
кирпичи вместо камней, а земляная смола вместо извести
(11:3 Бытие)
овощной сад... вместо него я дам тебе виноградник
(21:2 3-я Царств) ярмо деревянное... вместо него ярмо железное
(28:13 Иеремия) вместо человеческого кала, коровий помет
(4:15 Иезекииль) воцарился Ахав, сын его, вместо него
(16:28 3-я Царств) сикоморы...
заменим их кедрами(9:10 Исаия) я... вместо Бога (33:6 Иов)
Многие экономисты отмечают, что существуют такие товары, на которые падает спрос с ростом доходов покупателей. В то же время, взятая мною в этой работе (в качестве базовой) экспоненциальная зависимость спрос-цена: m = N»Exp(-x/a) для этих товаров неприменима. Для этого вида связи: дт/да > 0, или, что то же самое, спрос растёт вместе с доходами. Те же самые авторы отмечают и причину этого: с ростом дохода покупатели переходят на более дорогостоящие эквиваленты-заменители "дешёвых" товаров. Рассмотрим механизм действия подобного рынка. Для упрощения изложения самой идеи, примем, что существует 2 товара одного назначения (пшеница-рис, "жигули"-иномарки), но разной себестоимости. Пусть и их потребительные стоимости различны: у "дорогого" товара она выше. Введём обозначения:
- N - поток покупателей на рынке, или максимальный спрос на товары при нулевой цене;
- s, S - себестоимости соответственно "дешёвого" и "дорогого" товаров (S > s);
- а, А - потребительные стоимости "дешёвого" и "дорогого" товаров (А > а);
- х, у - цены соответственно "дешёвого" и "дорогого" товаров (по определению: х < у);
- р - вероятность предпочтения "дорогого" товара. Если: р = 1, то покупатель (при наличии у него средств) всегда купит "дорогой" товар, а если: р = 0, то покупатель (даже при наличии у него средств для покупки "дорогого" товара) всегда отдаст предпочтение "дешёвому".
Здесь напомню, что для обычных товаров оптимальными ценами будут: х0 = a + s, и у0 = А + S.Рассмотрим взаимодействие товаров на рынке. Число покупателей вообще способных к покупке любого товара будет определяться ценой "дешёвого", и составит: No = N*Exp(-x/a), это именно столько человек купят вообще что-либо. Спрос: M на "дорогой" товар будет: M = N*p*Exp(-y/A), именно столько человек приобретут "дорогое". Спрос: m на дешёвый товар, очевидно, будет: m = No - М. Прибыль от продажи товаров будет: Q = М*(у - S) + m*(x - s) = N*p*(y - S)*Exp(-y/A) + Ν·(χ - s)»[Exp(-x/a) - p*Exp(-y/A)]. И тут-то интересная особенность рынка, при условии, что у этих товаров один хозяин, а именно: допустима оптимизация его прибыли по каждой из цен. Оптимизация по цене: х (дО/дх = 0) даёт уравнение: р»Ехр(-у/А) = Ехр(-х/а)»[1 - (х - s)/a], а оптимизация прибыли по цене: у (3Q/dy = 0) даёт соотношение цен: y=A + S + x-s. Исключая цену: у из уравнений, и, обозначив: As = S - s, и: Да = А - а, получим уравнение для определения: х, а именно: 1 + s/a - х/а = р*Ехр[х*Аа/(А»а) -1 - As/A], В частном случае, когда: Aa = 0, т.е., когда потребительные стоимости товаров одинаковы (напр., алюминиевые и серебряные ложки одинаковы в их употреблении, хотя у них: As > 0), уравнения для цен разрешимы в радикалах. Мы имеем: у = А + S + а»[1 - ρ·Εχρ(-1 - As/A)] и: X = a + s - а»р»Ехр(-1 - As/A). Откуда, оптимальная цена "дешёвого" товара падает: (х < хо), а "дорогого" возрастает: (у > у0). Пусть: А = п»а (где: η > 1), тогда спрос на дешёвый товар в оптимальной точке будет: т(а) ~ Ехр(-х/а) - р»Ехр(-у/А), и падение спроса с ростом дохода (напомню, параметр: а пропорционален доходу) будет при: ЗМ/За < 0. После преобразований получим: ρ·(η - 1)·Εχρ(-1 - As/n/a) + (S- n»s)/a > -η·Ι_η(η), условие, которое для: S > n*s, всегда тождество, ч.т.д.. Варианты же оптимизации цен когда: р зависит от...
цен, например: р = х/у, и случай нескольких взаимозаменяемых товаров, предлагаю рассмотреть читателям.Ещё один вариант уже вероятностной модели для взаимозаменяемых товаров. Для начала немного феноменологии. Пусть на рынке два вида товаров, например, огурцы и помидоры. По их потребительским свойствам (калорийность, витамины) товары практически идентичны, но их себестоимости, а, значит, и по цене - отличаются. Естественно, что и спрос на товары будет различаться. Наша задача - определить их цены и соотношение предложения с целью получения максимальной рыночной прибыли. Задача проста по постановке и её решению, но с одной проблемой: как определить в этом варианте соотношение спроса на каждый товар?
Трудность состоит в том, что даже если один из товаров раздавать бесплатно, то это вовсе не означает, что на другой товар (взаимозаменяемый эквивалент) спроса вообще не будет. И ещё замечание, точнее, ещё одно предположение. Если на рынке вначале был только один вид товара (помидоры), а потом появился более дорогой его заменитель, то общий спрос на оба товара не изменится, или если на рынке в день продавали 200 кг помидоров, а потом там появились более дорогие огурцы, то общее потребление овощей не изменится, например, там же в день будет реализовываться уже 140 кг помидоров и 60 кг заменяемых их огурцов. Строго доказать это не могу, но в первом приближении ясно, что если вы достаточно богаты и пришли за помидорами, то, найдя более дорогие огурцы, можете предпочесть их помидорам. Итак, примем, что общий спрос [кг/день] постоянен и определяется ценой самого дешёвого товара, и не зависит от цен и ассортимента на том же рынке его товаров-заменителей.
Для показа идеи расчёта рассмотрим рынок 2-х товаров. Обозначим: х, у - цены товаров; а, b - их потребительные стоимости у покупателей; sx, sY - соответствующие себестоимости. Пусть зависимость спроса-цена экспоненциальная, т.е., если товары не взаимозаменяемы, то: Πχ = N*Exp(-x/a) и: nY = N*Exp(-y/b), а соответствующие прибыли по каждому из товаров: Qx = (х - sx)*nx и: Qy = (у - sY)»nY.
C целью упрощения дальнейшего изложения, множитель: N в уравнениях спроса опустим и введём безразмерные переменные: X = х/а, Y = у/b, σχ = Sx/a, σΥ = sY/b. Из взаимозаменяемости товаров следует: а « Ь, и уравнения спроса и прибыли для каждого товара примут вид: Πχ ~ Ехр(-Х) и: nY ~ Exp(-Y), Qx ~ (X - σχ)·ηχ и: Qy ~ (Υ - σΥ)·ηΥ. На рынке любой покупатель видит цены товаров: х, у знает их потребительные свойства: а, Ь. И большее предпочтение (в смысле вероятность покупки) будет отдано товару с наименьшим соотношением цена/полезность, или покупатель предпочтёт товар: X товару: Y при: X < Y1 но не более того. Поэтому, в некотором приближении и только для взаимозаменяемых товаров можно принять вероятности их покупки пропорциональными спросу на них на эквивалентных рынках при условии отсутствия там фактора взаимозаменяемости. Итак, вероятность покупки товара: X пропорциональна: Px ~ Ехр(-Х) и у товара: Y вероятность покупки: Py ~ Exp(-Y). На рынке товаров только два, потому из условия: Px + Py = 1 имеем: Px = Exp(Y)/[Exp(X) + Exp(Y)] и: Py = Ехр(Х)/[Ехр(Х) + Exp(Y)]. В дальнейшем будем считать: X < Y Проверим вероятности на "краях диапазона". При X « Y имеем: Px « Py « 0.5, т.е. при практическом равенстве свойств и цен товаров спрос на них равновероятен. При X = O (товар: X раздаётся бесплатно) имеем: Px = Exp(Y)/[1 + Exp(Y)] и: Py = 1/[1 + Exp(Y)], или, что только: Px > Py, но никак не: Px = 1, или, что даже при бесплатной раздаче одного товара, другой всё равно будет покупаться. Приняв, что общий спрос определяется минимальным значением соотношения цена/полезность, в нашем случае это параметр: X, для "валового" спроса будем иметь: η = ηχ·(Ρχ + PY) = пх, для прибыли рынка: Q = ηχ·[ Ρχ·(Χ - σχ) + Py^Y - σΥ)]. После несложных преобразований, имеем: Q(X, Y) ~ [(X - σχ)·Εχρ(Υ - X) + (Υ - σΥ)]/[Εχρ(Χ) + Exp(Y)]. Это уравнение для общей прибыли рынка. Оптимизация прибыли по переменным: XnY- 3Q(X, Y)/3X = 0 и 3Q(X, Y)/3Y = 0, даёт систему расчётных соотношений: Exp(-V) = V - 1 - (σΥ - σχ), где: V = Y-X, откуда: Y = X + V. И: X = Ox + А, где, в свою очередь: А = [Exp(V) о 1]/{1 + Exp(V)»[1 + Exp(-V)]2}. Оптимальные параметры находим в такой последовательности. Из 1-го уравнения однозначно определяем параметр: V, из последнего - параметр: А, из предпоследнего - параметр: X, а из 2-го: YДля примера рассмотрим случай полного равенства товаров по их потребительским свойствам и по себестоимости, т.е. когда: σΥ = σχ = о. Из первого уравнения: Exp(-V) = V - 1,
однозначно находим параметр: V = 1.278. Из последнего: Δ = 0.3772. Далее: X = σ + 0.3772, и Y = σ + 1.6557. Общая прибыль рынка: Q = 0.450·Εχρ(-σ). Отношение спроса на товар: X к спросу на товар: Y внутри рынка составит: Ρχ/Ργ = Exp(Y - X) ξ Exp(V) « 3.59. Как известно из предыдущего, если установить единую цену на взаимозаменяемые товары: X0 = σ + 1, то прибыль будет оптимальной: Qo = 0.368·Εχρ(-σ). Но при различных ценах на товары прибыль рынка: Q, в сравнении с: Qo (для одинаковых цен)... возрастает в: (0.450/0.368) « 1.22 раза.
2.29.