Модель рынка скоропортящихся товаров
Богатство ваше сгнило, и одежды ваши изъедены молью
(5:2 Иакова)
а ветшающее и стареющее близко к уничтожению
(8:13 К Евреям) Между утром и вечером они распадаются
(4:20 Иов)
это был мой убыток...
что пропадало(31:39 Бытие) и выбросите старое ради нового
(26:10 Левит) и ничего у них не пропало (25:71-я Царств) посему и не продали (47:22 Бытие)
Рассмотрим модель рынка скоропортящихся товаров, когда на рынок по чисто внешним причинам (небывалый урожай) начинает поступать товар со скоростью, превышающей спрос. Положим, что со временем качество товара падает. Если на "нормальном" рынке спрос равен предложению, и запасов товара практически не должно быть (сколько товаров привозится, столько распродаётся), то на рассматриваемом рынке может образоваться товарный запас, из которого часть распродаётся, а оставшийся товар, включая сюда и вновь поступивший, прогрессивно теряет качество. Под качеством мы будем понимать потребительную стоимость товара для покупателя. Так если для свежего товара спрос: η от цены: х определяется уравнением: n = N»Exp(-x/a), где: а - потребительная стоимость свежего товара; N - поток покупателей за свежим товаром, то для товаров низкого качества соотношение зависимости спроса: m от цены: у будет иным: m = М«Ехр(-у/Ь), здесь: b - это потребительная стоимость уже низкосортного товара: (b < a); M - поток покупателей за порченным товаром. Если (Ь < а), то потребление единицы низкосортной продукции приносит покупателю значительно меньше прибыли, чем потребление единицы первосортного товара. Рассмотрим некий равновесный рынок (фруктов) с зависимостью спроса от цены товара: n = N»Exp(-x/a), на котором имела место оптимальная торговля при цене: х0 = a + s, где: s - себестоимость товара. При этом равновесный спрос на товар был: η0 = Ν·Εχρ(-1 - s/a), с оптимальной прибылью: Q0 = а»По.
Пусть предложение товара увеличится в: к > 1 раз и стало равным: η = к»п0. Пусть продавцы не хотят, чтобы у них образовались излишки скоропортящихся товаров и потому так снижают цену, чтобы поступающий свежий товар распродавался. Как можно показать, новая цена при этом должна быть: у = s + а»[1 - Ln(k)] ξ χ0 - (χσ - s)»Ln(k), а относительное падение прибыли будет: Q/Qo = k»[1 - Ln(k)], и для любых к всегда: (Q/Qo ^ 1). Откуда видно, что при к = 2.72 прибыль рынка обнуляется и товары "идут" практически по их себестоимости. Помочь делу в этом случае может только уничтожение определенного количества товаров, для поддержания торговли на уровне цены, которую мы определим. Дифференцируя: Q/Qo по переменной: к, находим скорость изменения относительной прибыли: d[Q/Q0]/dk = -Ln(k). C другой стороны, уничтожение: no*dk товаров даст продавцам убыток уничтожения: dQ = -s»n0edk, или в тех же относительных единицах: d[Q/Q0] = - s/a*dk. Приравняв убытки найдём точку: к = ко, в которой одинаково падение прибыли как от снижения цен, так и от уничтожения товаров. Получим: ко = Exp(s/a) и потому для: к > к0 излишки товара должны уничтожаться. Как не трудно показать оптимальная цена товара составит: y(k0) =s + а»[1 - Ln(k0)] = а ξ χ0 - s Откуда простой вывод. Если на равновесный рынок (спрос = предложению) начнёт поступать избыток товаров, то необходимо снижать цену для выравнивания спроса и предложения рынка. Но если уровень цены понизится более, чем на себестоимость товара, то выгоднее "держать цену": (х0 - s), а товарные излишки надо уничтожать. На Рис. 2.25 даны графики (для: s/a = 0.4) падения, прибыли и рыночных цен при избытке предложения над спросом. Чёрная линия графика соответствует уровню: к > 1. Зона, залитая серым, соответствует тому |
Уничтожать товары жалко, потому вопрос: можно ли снижая цену товаров, и торгуя ими по пониженной цене, получать прибыль большую, чем от свежей продукции, с уничтожением излишков товара? Здесь сделаем некоторые допущения.
Рассмотрим для примера рынок фруктов. Если фрукты портятся, и падает их потребительная стоимость: (Ь < а), то это значит, что некоторая их часть негодна к употреблению и... выбрасывается покупателем. Значит, реально покупатель просто купил себе меньше полезного товара, и для "донабора" нужного ему количества фруктов, необходимо их больше приобрести. Например, если в отходы ушла половина купленной клубники то, следовательно, если бы покупатель купил её в два раза больше, то после очистки он получит нужное ему количество клубники приемлемого для него потребительного качества (прибыли). И здесь возможны некоторые рыночные варианты.- Если уценка товара идёт менее быстро, чем теряется его качество, то второсортный товар покупать не выгодно, и сей товар брать никто не будет. Здесь имеем вышеприведенный вариант приобретения покупателями только первосортной продукции, а остатки продукции низкого качества будут не востребованы, сгниют и удалятся с рынка без их насильственного уничтожения. Этот вариант торговли с обвалом рыночных цен при отсутствии сговора продавцов, уже отмечен в п. 2.4. Имеем то же уничтожение, но... естественное.
- Если уценка (скорость падения цены) товара идёт со скоростью большей скорости потери его качества, то покупать будет не выгодно уже первосортный товар, ибо после очистки второсортной продукции покупатель получит клубнику нужного ему (по его потребительной стоимости) качества в объёме (или в её массе) большем, чем при покупке первосортной клубники за ту же цену. При этом есть некоторый порог этого неравенства, т.к. покупатель затрачивает дополнительный труд на очистку низкосортной продукции.
- Если уценка товара идёт со скоростью равной потере его качества, то покупателю всё равно, какой товар покупать, но из чисто этических соображений (чтобы не возиться с перебором гнилья) он предпочтёт первосортный товар, и этот случай можно (и нужно) относить также к первому отмеченному здесь варианту.
Итак, пусть товары уцениваются немного быстрее потери их качества, и покупателю становится выгодно приобретать уже низкосортную продукцию.
Например, царапина на
полированной мебели может в разы снизить её цену (ибо возврат её на фабрику для устранения дефекта, потребует затрат сравнимых с ценой продукции), но для "народных умельцев", могущих чинить всё, покупка такого "брака" выгодна несомненно. В этом случае получим некоторый абстрактный рынок, на котором первосортную продукцию не берут, а все "охотятся" за второсортной продукцией. Условие реализации такого рынка: (Ь/у > а/хо). Как отмечалось выше, на таком рынке покупателям необходимо для "нормы потребления" приобретать в: а/Ь раз больше товара, чем товара первосортного, но это более чем компенсируется выигрышем в цене, или большей их прибылью, ибо: (а/Ь < Хо/у). Исходя из сказанного, спрос на таком рынке будет даваться выражением: m = (a/b)»N»Exp(-y/b). Из условия для равенства спроса и предложения: (т = к»По), получим: к»По = (a/b)»N»Exp(-y/b). Полагая, что уценка товаров происходит чуть быстрее падения качества, на малую величину, в первом приближении мы положим: у/Ь « хо/а, и, решая совместно последние уравнения, получим: у « хо/к, т.е. цена падает обратно пропорционально превышению предложения над равновесным спросом. Суммарная рыночная прибыль продавцов находится тривиально, как: Q = (a/b)*(y - s)*N*Exp(-y/b), а относительная прибыль: Q/Qo = 1 - s/a»(k -1).
На Рис. 2.25 чёрным цветом приведены графики падения прибыли и цены на таком рынке. Сравнение с рынком первосортных товаров, где уничтожаются излишки товарной продукции (см. Рис. 2.25-1) прямо показывает, что рынок исключительно первосортной продукции всегда более выгоден продавцам, там цены-прибыль выше, а рынок низкосортных товаров всегда
 |
Характерная точка: ki на графике прибыли на Рис. 2.25-1 (слева), - это такой уровень предложения товара, выше которого (зона, залитая тёмным цветом) становится выгодней торговать именно второсортной продукцией, это нечто вроде рынка бахчевых (или тех же цитрусовых) культур в периоды их массового сбора.
В этой точке должно выполняться очевидное соотношение: 1 - s/a»(ki - 1) = ki»[1 - Ln(ki)], или: 1 + s/a = ki»Ln(ki)/(ki - 1). Для аргумента х, для интервала: {1 < х < 5} справедлива приближённая аппроксимация функции: χ·Ι_η(χ)/(χ - 1) * I + Ln(x)/2 + 1_п(х)2/12, откуда для определения значения параметра: ki получаем достаточно точное и простое расчётное выражение: ki ~ Ехр[(9 + 12»s/a)05- 3].Попытки оптимизировать рынок, с 2-мя видами продукции: свежей и "не очень" (в плане поиска для них оптимальных цен) успехом не увенчались, - на рынке должен быть свежий товар, а излишки - те уничтожаются. Я моделировал ситуации: когда продавец предлагает свежий товар, а если это не по карману, то предлагается низкосортный товар по низкой цене; или продавец предлагает низкосортный товар, а когда покупатель согласен на покупку, то ему предлагается уже и товар свежий. В обоих случаях условием было отсутствие уничтожения товаров т.е. спрос должен равняться предложению. Но оптимального соотношения цен для двух видов товаров не существует, в плане максимизации прибыли рынка без уничтожения излишков. В 1-м случае спрос будет: k*n0 = N«Exp(-x/a) + (a/b)«N«[Exp(-y/b) - Ехр(-х/а)], а прибыль: Q = N*(x - s)*Exp(-x/a) + (a/b)»N»(y - s)»[Exp(-y/b) - Exp(-x/a)], а во 2-м случае уравнение для безотходного спроса будет: k«n0 = N»(a/b)»Exp(-y/b) + N»Exp(-y/b - х/а) и прибыль: Q = N*(a/b)*(y - s)*Exp(-y/b) + Ν·(χ - s)»Exp(-y/b - х/а) и обе системы уравнений не имеют максимума по переменным: х и у для функции рыночной прибыли Q(x, у). Итак, если на рынке торгуют одним товаром, но разного сорта, при избытке предложения товара над спросом на товар, то продавцы не добирают прибыли, к вящей радости покупателей.
2.18.