Модель рынка "пушечного мяса"
нанял... сто... храбрых воинов за сто талантов серебра
(25:6 2-я Паралипоменон) Какой воин служит когда-либо на своем содержании?
(9:71-е Коринфянам) воины... довольствуйтесь своим жалованьем
(3:14 От Луки)
от воинов, ходивших на войну, возьми дань
(31:28 Числа) Воины грабили каждый для себя.
И...(31:53-54 Числа) И... довольно денег дали воинам (28:12 От Матфея)
Об этом виде торговли все знают, но экономисты его деликатно обходят стороной, а ведь и здесь в наличии покупатель (государство, или мафиозно-бандитская группировка, что одно и то же) и продавец (человек проституирующий на последнем, что он может продать, не на своём теле даже, а на своей уникальной жизни). Поскольку покупатель в единственном числе, а продавцов много, то имеем ещё разновидность рынка монополиста-покупателя, но с той особенностью, что прибыль покупателя заранее никому не известна, ибо оная лежит вне сферы рынка, а в политике, в войне. Возникает вопрос о сроке и цене контракта. Примем, что цель наёмника - скопить больше денег и одновременно остаться живым. Случай ранения и инвалидности равносилен той же смерти, ибо любых, накопленных на чужой крови, средств всё равно не хватит, а вояка-калека никому не нужен. Если контракт короткий, то вероятность остаться живым велика, а денег набирается мало. При длительном контракте денег наберём много, но до конца контракта вряд ли доживём. Значит, имеется оптимальная длительность
 времени: At пропорциональной этому интервалу: P = A»At. В этом случае имеем простейший пуассоновский процесс с постоянным параметром: λ, пропорциональным интенсивности боевых действий, или плотности огня в день на гектар, или экономической и военной "мощи" |
противника.
Нас в этом процессе интересует именно вероятность: Po - отсутствия смерти на интервале времени: T (времени действия контракта), которая задаётся простым выражением: Po = Εχρ(-λ·Τ). Если "зарплата" контрактника: А, то за время контракта он накопит: Α·Τ денег с вероятностью Po (если останется жив) и лично ничего не получит если его убьют, а это - с вероятностью: (1 - Po). Следовательно, покупатель в среднем заплатит на одну контрактную (оставшуюся в живых) "душу" сумму: Q = Α·Τ·Εχρ(-λ·Τ), которая к сожалению для покупателя "пушечного мяса" максимальная при времени контракта: То = 1/λ. Именно на это время надо наёмнику заключать контракт, и это тот интересный случай, когда покупатель должен платить максимальную цену за товар, обеспечивая наибольшую прибыль наёмнику-продавцу, ибо прибыль от "сделки" у покупателя лежит в сфере грабежа, а не обмена, и контрактнику она не известна. Как видим, несмотря на фактическое наличие рынка монополиста-покупатепя, он вынужден в этом случае подчиниться оптимизации прибыли не для себя, но для... продавцов особого товара по имени "пушечное мясо". У Маркса тоже был особый товар: "рабочая сила". Параметр: λ примерно можно оценить, как величину, обратную "времени жизни" наёмника в данных условиях. Если за 2 года из 80 наёмников погибло 20 человек, значит: λ = 20/80/2 « Va [1/год] и контракт заключают на 8 лет. Средняя выплата на живую "душу": Q0 = Α/λ·Εχρ(-1).Рассмотрим вариант прогрессивной оплаты, когда зарплата наёмника линейно растёт со временем службы: z(t) = Α·(1 + η·ί), где: η - параметр с той же размерностью, что и у: λ. В этом случае, проинтегрировав зарплату по времени, находим, что за всё время контракта: Т, наёмник получит в итоге сумму денег равную: Α·Τ·(1 + η·Τ/2), и его нанимателю придётся оптимизировать (3Q/3T = 0) такую сумму на душу: Q = Α·Τ·(1 + η·Τ/2)·Εχρ(-λ·Τ).
Оптимизация приводит к следующему квадратному уравнению: T2 + 2·Τ·(1/η - 1/λ) - 2/(λ·η), что даёт время оптимального контракта: Ti = 2/[(λ2 + η2)05 + λ - η] > То. В этом-то, скорее всего, и кроются корни "карьерного роста" профессиональных офицеров-контрактников во всех армиях мира, ибо не зависимо от уровня начальной зарплаты: ζ(0) = А, при такой системе оплаты сроки контрактов всегда дольше. Если построить графики зависимостей: λ·Τι(η/λ) и 0(λ·Τι; η/λ)/Οο, то первая из них (безразмерное время контракта) возрастает по аргументу: (η/λ), оставаясь в пределах: [1, 2), а вторая - (это относительная сумма контракта по этому же аргументу) почти линейно растёт с ростом аргумента в пределах диапазона изменения: [1, °°), как на Рис. 2.40.
 |
Рассмотрим и вариант прогрессивной оплаты, когда зарплата наёмника линейно растёт со временем службы: z(t) = Α·(1 + n»t), но поступает на депозит, и снимается только в конце срока. Пусть, для упрощения, сумма на депозите растёт по принципу "сложных процентов". В этом случае, как уже мною было показано ранее (см. п. 2.31), в конце срока накопится сумма: Z(T) = |z(t)»Exp[p*(T - t)]*dt, где: р - показатель роста "сложных процентов" от времени: t, на начальный вклад: V0, происходящего по соотношению: V(t) = Vo*Exp(p»t), и интегрирование происходит на интервале: [0...Т]. Наниматель оптимизирует (3Q/3T = 0) такую сумму на душу: Q = Ζ(Τ)·Εχρ(-λ·Τ), что в итоге приводит к такому нелинейному уравнению определения: Т, а именно: (λ - ρ)·Εχρ(ρ·Τ) = (λ·Τ - 1)·ρ·η/(ρ + η) + λ. Для случаев "низкой" процентной ставки: (р < λ) - имеем квадратное уравнение: T2 [1 + ρ·(1/η - 1/λ)] + 2·Τ·[1/η - 1/λ - ρ/(λ·η)] - 2/(λ·η),
которое при: р = 0, сводится к ранее уже рассмотренному. На Рис. 2.40-1 приведены графики зависимостей: λ·Τ, Q/Qo, от процентной ставки: (ρ/λ). Как видим, неожиданного не произошло: время контракта и прибыль выживших - возрастают. Отмечу, что сами параметры "масштаба оплаты": А и η тоже зависят от параметра: А, обратного "времени жизни", т.е.: А = A(A) и: η = η(λ), но т.к. на параметр: λ нельзя воздействовать извне, оптимизация по: λ лишена смысла. Отмечу, что вариант: р > А в этой модели решения не имеет. Причину этого я не исследовал.