Модель рынка "дорогих товаров"
купил Иосиф всю землю Египетскую для фараона
(47:20 Бытие)
И купил .. из рук.......... дворец фараонов
(39:1 Бытие) вели [купить] новую колесницу (6:3 2-я Царств)
Здесь под "дорогими товарами" будем понимать те товары, на которые мы копим деньги, и копим достаточно долго, откладывая, или на депозит, или "под матрас" определённую часть своего дохода, например, это: земля, жильё, автомобили.
Наличие кредитования в первом приближении на рынок не влияет, ибо потом надо будет погашать "ипотеку", что эквивалентно тому же процессу накопления денег на покупку. Будем считать, что как только накапливается нужная сумма - человек сразу же покупает и... выбывает с рынка. Особенность рынка в том, что он конечен, т.е. если имеется: N желающих купить автомобиль, то больше, чем: N авто на таком рынке не продашь, а на самом деле объём продаж значительно ниже. Модель грубая и справедлива только для товаров высокого качества, которые не портятся от эксплуатации, а так не бывает. В первом приближении, идея рынка понятна. Надо и на нём, как и на любом рынке, извлекать наибольшую прибыль, т.е. максимум денег за данное время. Обозначим:- N - общее число потенциальных покупателей товара (которые копят на него деньги);
- s - себестоимость товара (полагается постоянной величиной);
- X - цена товара, зависящая от времени, переменная величина, подлежащая определению;
- а - среднее значение денег в "кубышках". Приняв, как и прежде в моделях, распределение доходов населения экспоненциальным, легко показать, что и деньги в "кубышках" будут тоже распределены экспоненциально, но с постоянно возрастающим средним значением: а = λ·ί, но это не чисто экспоненциальное распределение, а усечённое, ибо при накоплении суммы денег, превышающей цену: х, товар сразу покупают, а, значит, в "кубышках" денег больше, чем: X - быть не может.
Но параметр: а - это параметр аппроксимации именно экспоненты;- Р(х, а) = Ехр(-х/а)/а - функция плотности распределения накоплений населения.
Сначала несколько общих соображений. В самом начале процесса, когда товар появился в
продаже, и сбережений на покупки ни у кого нет, ясно, что: а = 0, и P = б. (дельта-функция). Спрос также равен 0. В дальнейшем, параметр среднего значения накоплений: а - линейно растёт со временем: a = A*t, и товар начинает покупаться. Но, если по каким-то причинам величина: у ξ х/а перестанет меняться (например, с ростом накоплений: а будет в такой же пропорции, или с опережающим темпом расти цена: х), то спрос с этого момента обнулится. Можно торговать следующим образом. В течение некоторого времени: T "ничего не делать", а ждать, пока средний уровень накоплений: а не станет равным: а = λ·Τ, и только после этого "выбросить" товар на рынок по цене: х. По предположению, товар "мгновенно" раскупят те, у кого сбережения превышают уровень цены: х, а это (число покупателей): n = N*Exp(-x/a) человек, и вся выручка от продаж будет: Q = (х - s)»N»Exp(-x/a), а прибыль: q, как выручка в единицу времени, будет: q ξ Q/T = (х - s)»N»Exp[-x/(A»T)]/T. Можно показать, что при данной цене: х, существует такое время начала продаж: T0, при котором прибыль будет наибольшей. Решая уравнение: 3q/3T = 0, получим соотношение: х = А*Т0. При этом оптимальная прибыль: q0 составит: q0 = λ·Ν·(1 - s/x)*Exp(-1). Как видим, при наличии достаточного резерва времени ожидания (T0 => 00) можно теоретически получить предельную прибыль: qMAxi = λ·Ν·Εχρ(-1).
Но данный вид торговли не оптимальный. Оптимальной будет аукционная торговля с снижением цены: у от "очень большой" вплоть до себестоимости. Действительно, плотность распределения накоплений будет: Р(у, a) = Exp(- у/а)/а, где: у - аукционная цена. Прибыль от реализации товара в интервале цен: dy составит: dq = (у - s)»(N/T)»Exp(-y/a)»dy. Интегрируя dq в пределах от некоторой цены: х до бесконечности, получим прибыль аукционного торга: q = (N/T)»Exp(-x/a)»(x + а - s). Это выражение имеет максимум, при: х = s, который находится элементарным дифференцированием и решением уравнения: dq/dx = 0. Подставив: а = λ·Τ, в итоге получим: q = A»N»Exp(-s/a), что при достаточно большом резерве времени даст: qMAX2 = λ·Ν, что в ~2.72 раза выше прибыли от торговли при постоянной (но тоже оптимальной) цене.
2.29.