Модель рынка продовольствия

И взяли они съестной запас у народа себе

(7:8 Судьи)

над запасами... в городах, и в селах ив...

(27:25 1-я Паралипоменон) будет сия пища в запас на семь лет

(41:36 Бытие) а над запасами вина в виноградниках (27:27 1-я Паралипоменон) а над запасами деревянного масла (27:28 1-я Паралипоменон) посмеялись...

(8:15 Судьи) хлеба не стало в сумках наших (9:7 1-я Царств) отложите и сберегите до (16:23 Исход)

Здесь рассмотрим ещё один вариант оптовой рыночной торговли, которая осуществляется не теми товарами, которые непрерывно могут воспроизводиться, в соответствии со спросом, доставляться на рынок и там реализоваться, а теми товарами, что производят одноразово, складируют, а затем отпускают на рынок оптом, соответственно его спросу. Для этого случая должен быть оптимальный запас товара, который обеспечивает купившему его "хранителю" наибольшую возможную прибыль от полной реализации им товара в течение некоторого промежутка времени. Действительно, если запас товара чрезмерный, то возрастают затраты на его хранение, рыночные цены падают, да и не весь товар из запаса будет распродан, - прибыль от реализации-хранения упадёт. Напротив, если товара мало, то цены на него вырастут, но объём реализации будет низким, содержание полупустых складов не дёшево, и общей прибыли будет тоже мало. Итак, интуитивно ясно, что оптимум у запаса есть. И ещё один момент, например, на рынке картофеля. Затраты на его хранение растут со временем, но и сам продукт теряет кондицию, бракуется. Следовательно, со временем цены на него должны расти. Здесь мы попробуем установить закон возрастания цен, обеспечивающий (не зависимо от возрастающих потерь и возрастающих затрат на хранение) максимальную прибыль от полной реализации товара в течение оптимального времени хранения-продаж.

Введём следующие обозначения параметров и переменных:

-Z0- начальный объём запаса (или общая ёмкость склада), [тонн];

-Z(t) - объём запаса в произвольный момент времени, [тонн];

-T - время хранения (до полной реализации запаса), [дней];

- X(t) - цена отпускаемого со склада товара (зависит от времени), [руб/тонн];

- А - потребительная стоимость товара (прибыль покупателя от потребления), [руб/тонн];

-M- предельный естественный спрос на данный товар (спрос, при условии бесплатной

раздачи всех товаров на всех рынках), [тонн/день];

- а - стоимость содержания единицы ёмкости пустого склада, [руб/(тоннедень)];

- β - стоимость содержания единицы товарного запаса, [руб/(тоннедень)];

- η - относительная скорость порчи данной массы товарного запаса, [1/день];

-S- себестоимость единицы товара, точнее, его закупочная цена для склада, [руб/тонн].

Рассмотрим простейший случай, когда порчей товара можно пренебречь по сравнению с затратами на его хранение (например, зерновые, корма животным и пр.), это тот случай, когда ежедневные затраты на содержание склада много меньше потерь товара с ценой: X(t).

Как и в предыдущих случаях, примем для упрощения изложения, экспоненциальную зависимость спроса от цены: P = МеЕхр(-Х/А). Тогда запас товара на складе, в произвольный момент времени: t будет: Z = Zo - J Pedr, где интегрирование по параметру времени (г) идёт в интервале: {0...t}. Итоговая прибыль от полной реализации товара склада за данное время T будет: Q = -s»Zo - α·Ζ0·Τ + J (Ρ·Χ - p«Z)»dt, где интегрирование по параметру времени (t) идёт в интервале: {0...Ί}. Здесь: (-SeZo) - затраты на приобретение товара; (-α·Ζο·Τ) - затраты на содержание склада, не зависимые от наличия в нём товарного запаса (охрана, освещение и амортизационные отчисления); (- β·Ζ) - дневные затраты на на хранение товара, зависящие от его текущей массы: Z на складе (сушка, перегрузка и пр.), а PeX - выручка от реализации с размерностью: руб/день. Если в качестве искомой функции (для её оптимизации) принять не зависимость цены товара от времени: X(t), а товарный запас: Z(t), то получим соотношения: Z'(t) = -Μ·Εχρ(-Χ/Α) и: X(t) = -Α·Ι_π(-Ζ'/Μ). Подставив эти соотношения в выражение для: Q, и проведя несложные преобразования, получим: Q = J [Ζ'·Α·Ι_η(-Ζ'/Μ) + Z'e(s + α·Τ) - P*Z]»dt, где интегрирование идёт в пределах: {0 ... Ί}. Это выражение: Q = Q(Z; Z'; t) представляет собой функционал, т.е. переменную величину: Q, значение которой определяется видом функции: Z, и, потому, допускающий поиск оптимального вида этой функции, и мы имеем стандартную вариационную задачу оптимизации функционала. Оптимизация даёт решение, уже для X(t) в классе линейных функций: X(t) = AeC + p»t, (С - безразмерная постоянная интегрирования).

-для параметра: Y = 1_п(1 + β/α);

-для времени реализации: T0 = (Α/β)·Ι_π(1 + β/α);

- для искомого параметра: C = 1 + s/A + (α/β)·Ι_π(1 + β/α);

- зависимость отпускной цены товара от времени: X(t) = А + s + Α·(α/β)·Ι_π(1 + β/α) + β·ί;

- оптимальный запас товара: Z0 = Μ·[Α/(α + β)]·Εχρ(-6);

- оптимальная прибыль: Qo = Μ·[Α2/(α + β)]·Εχρ(-0) ξ Α·Ζο.

Из последнего выражения видно, что наибольшая прибыль: Qo продавца-хранителя товара равна прибыли покупателя от потребления товара: AeZ0, что математически подтверждает принятую гипотезу работы рынков: прибыли продавца и покупателя должны быть равными. И ещё момент: оптимальная прибыль растёт пропорционально квадрату потребительной стоимости товара. Это говорит о том, что централизованно хранить и распределять по точкам продаж выгоднее более прибыльный товар, а хранить-складировать дешёвые продукты не прибыльно. Или, в иной интерпретации: централизованно хранить продукты прибыльнее для богатых стран, а бедные страны вынуждены довольствоваться индивидуальным хранением.

Числовой пример, пусть: А = 510 руб за тонну; α « β = 1.02 руб за тонну в день, предельный спрос: M » 42 тонн в день, закупочная цена: s « 120 руб за тонну.

Рассмотрим случай порчи товара, когда запас "тает" от продаж и от порчи. Пусть порченый товар не уценяется, а утилизируется, и стоимость затрат на утилизацию входит как составная часть в параметр: β (в издержки хранения). В этом случае уравнение динамики запаса будет: Z' = -η·Ζ - Μ·Εχρ(-Χ/Α). Здесь в правой части первое слагаемое: (-η·Ζ) - это "таяние" запаса от порчи, а второе слагаемое: [- Μ·Εχρ(-Χ/Α)] - это убыль запаса от продаж. Решая получим: Z(t) = Exp(-r|*t)*[Zo - M*j Εχρ(η·τ - X/A)»dr], где: Z0 - изначальный запас товара на складе, а интегрирование ведётся в пределах: {0 < т < t}, откуда начальный объём закупок товара будет: Z0 = М·/ Exp(n*t - X/A)»dt, где интеграл берётся в пределах: {0 < t < Т}. Выражение для прибыли: Q не изменится. Проведя аналогичную оптимизацию функционала для прибыли: Q, получим зависимость цены: X(t) = А + (s + Τ·α)·ν + (V - 1)·β/η, где обозначено: V = Exp(n»t), которая в пределе (при η => 0) даёт предыдущий результат (когда продукция не портится).

Оптимизация: Q по параметру Т, приводит к двум уравнениям: P = 1 + (Α/λ)·Ι_π(1+ λ·η/α), где, в свою очередь: λ = s + β/η + (α/η)·Ι_π(Ρ). Эти уравнения разрешаются относительно: P методом итераций: задаём: Pi = 1, и из второго уравнения определяем: λι, которое снова подставляем в первое уравнение, из которого определяем уже: P2 и т.д., до тех пор, пока разность: |ΡΝ-ι - Рм| не станет ниже некоторой требуемой погрешности. После определения: P оптимальное время находим, из соотношения: T0 = (1/η)·Ι_π(Ρ).

Окончательно, последовательность расчёта следующая:

- из системы уравнений: P = 1 + (Α/λ)·Ι_π(1+ λ·η/α), и: λ = s + β/η + (α/η)·Ι_π(Ρ) методом итераций определяем значение параметра: Р;

-для оптимального времени реализации имеем соотношение: T0 = (1/β)·Ι_π(Ρ);

- зависимость отпускной цены товара от времени: X(t) = А + (s + Τ0·α)·ν + (V - 1 )·β/η, где обозначено: V = Exp(n*t);

- оптимальный запас товара: Z0 = Μ·Α/[η·(ε + α·Τ0) + β)]·{Εχρ[-Χ(0)] - Ехр[-Х(Т0)]};

- оптимальная прибыль реализации товара: Q0 = (Μ·Α/η)·Εχρ[β/(η·Α) - 1]*j Exp(-A*x)*(dx/x).

На Рис. 2.31 даны зависимости изменений оптимальных параметров рынка, от величины параметра: η - порчи товара при хранении. Если за единицу времени принят день, то η имеет размерность [% в день]. Зависимости даны в относительных единицах по отношению к (тоже оптимальным) параметрам, но при отсутствии потерь от порчи. Как видим, наиболее сильно и нелинейно падают оптимальные сроки распродажи товара: Т/Т0; достаточно сильно падает оптимальная прибыль: Q/Qo; практически линейно падает оптимальный запас товара: Z/ZQ; и наименее (из всех параметров) падает относительная стартовая цена товара: Х(0)/Хо(0).

Рассмотрим ещё один вариант этой задачи, назовём его инвестиционным. Пусть у вас имеются депозитные деньги под: Р% годовых. Пусть для упрощения, это сложные проценты, т.е. все начисленные проценты, вновь причисляются к сумме вклада. Тогда можно показать, что ваш вклад: Q растёт экспоненциально: Q(t) = Q0*Exp(p»t), где параметр показателя можно рассчитать аналогично предыдущему: р = (1/365)·Ι_π(1 + Р/100). Пусть вы решили вложить эти деньги (инвестировать) в продовольственный бизнес, в надежде получить за время продажи T больший доход (в процентах), чем был бы процент по депозиту из расчёта: P % (годовых). Следовательно, оптимизации будет уже подлежать не прибыль, как таковая, а разница между полученной вами прибылью и "депозитными" потерями. Верно ли такое рассмотрение - пусть решают профессиональные экономисты. Нас здесь интересует принцип постановки-решения всех задач подобного рода. Сохраним все предыдущие обозначения (за исключением вновь введенного параметра роста вклада: р), и рассмотрим вариант, когда товар не портится.

Итак, вы сняли с депозита суммы: s»Z0 (на покупку товара) и: α·Ζ0·Τ (на аренду склада). Следовательно, ваши денежные потери будут: Z0*(s + α·Τ)·Εχρ(ρ·Τ). Te, в случае какого-либо форс-мажора, к концу времени Т, вы теряете сумму инвестиций: Z0*(s + α·Τ), и все проценты на эту сумму: [Ехр(р*Т) - 1]. Пусть также вся ваша прибыль от продаж идёт на депозит.

Рассмотрим вспомогательную формулу. Когда у вас на депозите постоянная сумма: Q0, то по истечении времени: T (из расчёта: P % сложных-годовых) у вас на депозите будет сумма: Q(T) = Q0*Exp(p*T). А как посчитать итоговую сумму, когда вы на интервале: T докладывали и снимали определённые деньги, т.е. когда само Qo = Qo(t). Расчёт достаточно тривиален. Если в момент времени: t вы внесёте сумму: AR, то к моменту: T она "превратится" уже в сумму: AR(T) = AR(t)*Exp[p*(T -1)] = R'(t)»Exp[p»(T - t)]»At. Интегрируя по всему интервалу {0 < t < Т}, получим окончательную сумму на депозите: Q(T) = Q0*Exp(p»T) + J R'(t)»Exp[p»(T - t)]*dt. Это частный случай, известного из электротехники, т.н. "интеграла Дюамеля". Почему эту простую формулу, справедливую, кстати, для дискретных сумм вложения-снятия денег не применяют

После заполнения склада и начала продаж начнут поступать деньги (выручка), и в момент: t, её скорость (поступления) будет равна: R'(t) = Μ·Εχρ(-Χ/Α) - β·Ζ. Здесь первое слагаемое - это собственно деньги от продажи, а второе - затраты на хранение остатка запаса. Вся эта сумма поступает в банк на сложные проценты и, с учётом начальных затрат формула для расчёта прибыли имеет вид: Q = J [Μ·Εχρ(-Χ/Α) - β·Ζ]·Εχρ[ρ·(Τ - t)]*dt - Z0*(s + α·Τ)·Εχρ(ρ·Τ), где интегрирование идёт в пределах {0 < t < Т}. Проведя оптимизацию функционала, получим для цены зависимость: X(t) = А + (s + Τ·α)·ν + (V - 1)·β/ρ, - формула, аналогичная для цены при наличии порчи товара, где обозначено: V = Exp(p*t). К сожалению, оптимизация Q по параметру Т, не даёт разрешимого в виде T0 = ... аналитического выражения, поэтому поиск оптимального значения: T = T0 надо вести пошагово, что при наличии компьютера трудностей не вызывает. На Рис. 2.31-1 дан пример расчёта (поиска оптимального времени реализации: T0) по параметрам склада товаров и рынка для вышеприведенного случая без порчи товара. Алгоритм расчёта следующий. Задавая с нарастающим итогом последовательно значения: Т, рассчитываем для каждого момента времени: T соответствующую ему оптимальную цену: X(T) и по ним обоим, соответственно, находим интегральные выражения для: Zo(T) и Q(T), до тех пор, пока не найдём максимальное значение: Q(T0). На рисунке в целях иллюстрации оптимума даны значения прибыли и для: T > T0. Светлой линией дана прибыль от чисто депозитных вкладов (на сумму первоначальных затрат) для двух годовых ставок по депозиту (Р = 5% и 25%). Как мы видим, процентная ставка (в реальных пределах её изменения) не оказывает существенного влияния на оптимальную прибыль от складского хозяйства. Для случая нереально высоких депозитных процентов оптимального значения у прибыли нет. Она растёт, оставаясь до определённого момента времени всё же выше доходов по депозиту, но, в конце концов, сложные проценты "берут верх", и складская деятельность менее прибыльна.

2.29.