Модель рынка мясной продукции
волов, которых невозможно исчислить... по причине множества
(5:6 2-я Паралипоменон) заколоть ли всех овец и волов, чтобы им было довольно
(11:22 Числа)
скот, который вам можно есть, волы, овцы, козы
(14:4 Второзаконие) И будут резать...
и останутся голодны, и...(9:20 Исаия)
немедленно купи на эти деньги волов
(7:17 Ездра) [да будут] волы наши тучны (144:14 Псалтирь) между бараном и козлом (34:17 Иезекииль) Лучше не есть мяса (14:8 Второзаконие) ешьте мясо (7:21 Иеремия)
Особенность этого рынка в том, что на нём нельзя обеспечить оптимальную цену при резком изменении спроса. Действительно, пусть на рынке была оптимальная цена, а спрос возрос. Если и далее будем торговать по оптимальной цене, то при выросшем спросе, поголовье скота будет падать вплоть до исчезновения, что неразумно. Назначив рыночную цену выше оптимальной для поддержания прежнего спроса и поголовья, рынок не добирает прибыль, что недопустимо. Следовательно, нужно так менять цену, чтобы дать возможность как увеличить поголовье до возросшего уровня спроса, так и минимизировать убытки на этом "переходном процессе". Действительно, если цену сильно поднять, то спрос упадёт до нуля, прибыль - тоже, но поголовье максимально быстро достигнет нужного уровня, и здесь убытки от "не продаж" очевидны. Если цену поднять незначительно, то поголовье будет расти но медленно, и рыночная прибыль будет ниже оптимальной на весьма большом промежутке времени, а это - тоже убытки. Ещё вариант ситуации. При внезапном сокращении поголовья (эпидемии) требуется тоже так поднять цены на мясо, чтобы с минимальными потерями в прибыли восстановить поголовье для оптимального состояния рынка. Наша задача и состоит в том, чтобы найти зависимость цены на мясо от времени для минимизации потерь рынка на "переходном процессе" роста-уменьшения поголовья (до его оптимального уровня).
Особенностью этой модели, в отличие от предыдущих является единое рассмотрение в рамках их взаимодействия, производства товара и его рыночной цены. Напомню, что ранее нами рассматривались только рынки продаж, безотносительно к производству. В некотором приближении нижеизложенная модель применима и к тем рынкам, где, например, при росте спроса необходимо поднимать цены для получения средств для расширения производства, или к тем рынкам, где привлечение инвестиций по каким-либо причинам невозможно. Это, в частности, все виды мелкого бизнеса, на продукцию которых внезапно изменяется спрос.
Введём следующие обозначения переменных и постоянных величин этого рынка:
M - масса всего живого скота [т];
N - спрос на мясную продукцию [т/день];
X - текущая цена на некоторую абстрактную усреднённую мясную продукцию [руб/т];
Xo - оптимальная цена на ту же абстрактную усреднённую мясную продукцию [руб/т];
а - потребительная стоимость (прибыль покупателя) усреднённой мясной продукции [руб/т]; λ - некая усреднённая относительная скорость набора веса скотом [1/день] (например, если свинья весом 125 кг набирает привес 1.25 кг в день, то: А = 1.25/125 ξ 0.01); η - удельные затраты на поддержание живого скота [руб/(день»т)];
s - себестоимость единицы товарной мясной продукции из исходного мясного сырья [руб/т].
При экспоненциальной зависимости спроса от цены: спрос = N»Exp(-x/a), получим простое уравнение для динамики массы скота: M' = λ·Μ - N»Exp(-x/a), где: M' - скорость роста массы живого скота; λ·Μ - скорость естественного прироста массы; -N»Exp(-x/a) - скорость потери массы, из-за наличия спроса на мясопродукты. При M' = 0 мы имеем точку равновесия рынка, когда весь естественный прирост массы уходит на рынок мясопродуктов. При этом масса живого скота стабильна: Mo = (N/A)»Exp(-x/a), но точка равновесия неустойчива относительно спроса при постоянной цене. Действительно, стоит спросу упасть, как установится: M' > 0, и масса скота будет неограниченно возрастать, а при возрастании спроса установится: M' < 0, и масса скота сойдёт в итоге на нет.
Но колебание рыночных цен и поддерживает равновесие рынка мясопродуктов. Общее решение уравнения динамики массы живого скота имеет вид: M(t) = Εχρ(λ·ί)·[Μ0 - ίІМ(т)«Ехр(-х(т)/а - λ·τ)·6τ], где интегрирование ведётся в пределах {0...t}. здесь: Ν(τ) - динамика спроса, как функция времени; х(т) - динамика рыночных цен, которую нам надо определить. Однако, следует заметить, что динамика спроса, как функция времени: N(t), это не гладкая непрерывная функция, а может иметь конечные скачки, например, когда спрос резко подскакивает в разы, или падает, и тоже в разы. Поэтому мы решим простейшую задачу, когда на равновесном рынке спрос скачком вырос в: P раз, и нам необходимо определить, как должна меняться рыночная цена мяса от времени: x(t), чтобы воспроизвести новый уровень для поголовья скота, при минимальных потерях рыночной прибыли.Прежде всего определим новый равновесный уровень поголовья при возросшем спросе. Из уравнения равновесия: Mo = (N/A)«Exp(-x/a), следует, что если спрос: N возрос в P раз, то и во столько же раз должно вырасти и поголовье, т.е. новое равновесное поголовье будет: Ρ·Μο.
Рассмотрим равновесную прибыль рынка в начальном и "конечном" состояниях, т.е. до и после возрастания спроса. Начальная прибыль будет: qo = Ν·(χο - s)»Exp(-x0/a) - η·Μο, здесь первое слагаемое - это прибыль от продажи, с учётом себестоимости производства мясной продукции, а второе - убытки, или затраты на содержание поголовья, и: хо - оптимальная рыночная цена. Как нетрудно показать дифференцированием: 3qo/dxo = 0, для значения этой цены получим: Xo = a + s + η/λ. Аналогично для прибыли рынка в его конечном состоянии имеем: Цм = (Ν·Ρ)·(χο - s)*Exp(-Xo/a) - η·Ρ·Μο ξ Ρ·ςσ, при той же оптимальной цене: хо. Для промежуточного, неравновесного состояния рынка текущая прибыль в момент времени: t будет: q(t) = (N»P)»[x(t) - s]*Exp[-x(t)/a] - q*M(t), и, очевидно, что эта разность: Aq = [qM - q(t)], проинтегрированная на промежутке времени: T с момента скачка спроса, и даст нам убыток рынка на этом интервале времени.
Сам интервал: T определяется тем моментом времени, когда поголовье скота достигнет оптимального уровня: Р*М0. Окончательно, для потерь рынка имеем: |Aq»dT ξ |[Ν·Ρ·(χ0 - s)*Exp(-x0/a) - η·Ρ·Μ0 - Ν·Ρ·[χ(τ) - s]*Exp[-x(T)/a] + η·Μ(τ)]·6τ, где интеграл берется на интервале времени: {0 < т < 7}, но значение: T нам пока не известно.Из уравнения динамики массы, но для случая скачка спроса: M' = λ·Μ - (N*P)*Exp(-x/a), имеем: Ехр(-х/а) = (λ·Μ - Μ')/(Ν·Ρ), или: х = -a*Ln[(A*M - Μ')/(Ν·Ρ)]. Подставив эти выражения в уравнение общих потерь рынка, получим соотношение: J{Aq}*dT = i{P*qo + І\І*Р*{а*І_п[(А*М(т) - Μ')/(Ν·Ρ)] + s}»(A»M(t) - Μ')/(Ν·Ρ) + η·Μ(τ)]}·6τ, и далее это выражение минимизируем, как функционал, имеющий в подынтегральном выражении (см. {Aq}) - в качестве его аргумента неизвестную функцию: M и её производную: M'. Оптимизация: J{Aq}*dT известна и состоит в решении уравнения: 3{Aq}/3M = d[3{Aq}/3M']/dt, которое после простых преобразований даёт зависимость оптимальной цены от времени: x(t) = х0 + C*a*Exp(-A*t), где: C - безразмерный параметр, подлежащий определению. Как видим, при повышении спроса в P раз, необходимо вначале поднять цену до уровня: (х0 + Оа) и в дальнейшем снижать её согласно уравнению: x(t) = Xo + C»a»Exp(-A*t). Это резкое поднятие цены обеспечит необходимый начальный рост поголовья, а постепенное её снижение - и оптимальный рост прибыли с одновременным, но более медленным ростом поголовья. Из этого уравнения следует, что оптимальная цена: х0 установится только при: t => °°, или при: T = °°. И здесь нет никакого парадокса, ибо такие реакции на скачки параметров (это т.н. релаксация) - обычное природное явление, и имеет место после пожаров, катастроф, когда вновь восстанавливается среда обитания.
Теперь определим величину безразмерного параметра: С. Опять вернёмся к уравнению для динамики массы скота, но уже для нашего конкретного случая скачка спроса: M(t) = ...
Подставив в него найденное оптимальное значение: х(т) = х0 + Оа»Ехр(-А*т), и предельные значения: Ν(τ) = Ν·Ρ и M(T) = M0iR и проведя интегрирование в пределах {0 < т < Т}, получим уравнение: Ρ·Ζ = 1 - [Εχρ(-ΟΖ) - Ехр(-С)]*Р/С, где обозначено: Z = Εχρ(-λ·Τ). Поскольку для нашего случая: T = °°, то уравнение для определения параметра: C упростится и примет вид: C = [1 - Ехр(-С)]»Р, ибо Ζ(°°) = 0. Решение этого уравнения: C = C(P) приведено на Рис. 2.35, включая и случай, когда: P < 1, т.е. когда резко падает (а не возрастает) спрос. Для значений: P ~ 1 - справедлива приближённая линейная аппроксимация: C ~ 2*(Р - 1), а практически идеально кривую: D(P) аппроксимирует выражение: D(P) = 2*(1 - рур0·3233. Как было показано в предыдущих разделах, на равновесном рынке прибыль продавца равняется прибыли покупателя (параметр прибыли: а в моделях), потому из последнего уравнения следует, что при увеличении спроса на: 10О(Р - 1)% скачок цен должен быть равным: 2*(Р - 1)*а, или же равен удвоенному соответствующему проценту от прибыли продавцов, а далее сходиться |
Теперь рассмотрим рынок постоянного спроса, когда меняется скачком количество скота (эпидемия, массовый забой, или реквизиция скота после войны у побеждённой стороны). Здесь тоже нужно оптимальное регулирование цен рынка для снижения величины потерь от переизбытка-дефицита мясопродуктов. Отмечу, что эти задачи возникают в других отраслях промышленности (лесная, рыбное хозяйство), где неожиданные потери источников сырья требуют длительного времени для восстановления. По умолчанию полагаем, что внешняя торговля, как более быстрый фактор компенсации убытков (экспорт-импорт) отсутствует.
Уравнение динамики массы скота: M' = λ·Μ - N»Exp(-x/a) не изменится, за исключением того, что начальное значение массы будет не: M0 = (N/A)»Exp(-x/a), но: Ρ·Μ0.
Решение этого уравнения в общем виде для нашего случая: M(t) = Εχρ(λ·ί)·[Ρ·Μ0 - І\І»ІЕхр(-х(т)/а -λ·τ)·6τ], и для некоторого момента времени: Т, когда рынок опять придет к равновесному состоянию, мы получим уже несколько иное соотношение: M0 = Εχρ(λ·Τ)·[Ρ·Μ0 - N»JЕхр(-х(т)/а - λ·τ)·6τ].Начальная прибыль будет, как и в предыдущем случае: q0 = Ν·(χ0 - s)»Exp(-x0/a) - η·Μ0, и: Xo - оптимальная рыночная цена тоже не изменится: хо = a + s + η/λ. Нетрудно показать, что прибыль рынка в его конечном состоянии: qM = qo, при той же оптимальной цене товара: х0. Итак начальное и конечное состояние рынка одинаковы, а на переходном процессе прибыль рынка будет ниже и в момент: t будет: q(t) = N»[x(t) - s]»Exp[-x(t)/a] - η·Μ(ί), и, очевидно, что разность: Aq = [qo - q(t)], проинтегрированная на промежутке времени: T с момента начала скачка спроса, даст нам убытки рынка. Аналогично предыдущему, проанализировав интеграл убытков: J{Aq}*dT на предмет его минимизации, мы получим для оптимальной цены рынка аналогичное предыдущему случаю выражение: x(t) = X0 + D»a»Exp(-A»t), где: D - параметр, подлежащий определению (как и параметр C в предыдущем случае). Здесь тоже видим, что оптимальное значение цена примет только при бесконечном времени: T = 00, или при: t => °°.
Подставив в уравнение динамики массы оптимальное значение: х(т) = X0 + D»a*Exp(-A*T), и предельные значения: N(t) = Nn M(T) = Mo, проведя интегрирование в пределах [0 < т < °°), после аналогичных предыдущему преобразований, получим для определения параметра: D уравнение: D*P = [1 - Exp(-D)]. Решение этого уравнения: D = D(P) приведено на Рис. 2.35 справа. Для значений: P ~ 1 - справедлива в первом приближении линейная аппроксимация: D(P) « 2·(1 - Р), а практически идеально кривую: D(P) аппроксимирует такое выражение: D(P) = 2·(1 - Р)/Р °·6767. Из предпоследнего уравнения следует, что при увеличении поголовья на: 100·(Ρ - 1)% падение цен должно быть равным: 2·(1- Р)»а (или, как и ранее, удвоенному проценту от оптимальной прибыли продавцов), а далее сходиться по экспоненте к нулю, а цена, соответственно, стремиться к своему прежнему равновесному рыночному значению: хо.
2.29.