Модель рабочего дня продавца (хлеба и воды)
хлеб... ежедневно, сколько нужно на день
(16:4 Исход)
и продавали в субботу жителям Иудеи
(13:16 Неемия) не должно продавать... как продают
(25:42 Левит) поест он хлеба и напьется воды (13:18 3-я Царств) Жаждущие! идите все к водам (55:1 Исаия) Хлеба он не ел и воды не пил (10:6 Ездра) не ешь хлеба и не пей воды (13:22 3-я Царств) нет ни хлеба, ни воды (21:5 Числа)
Во всех предыдущих моделях, где упоминался спрос, имелся в виду некоторый средний спрос, например СТОЛЬКО-ТО ШТ.
В день, ИЛИ СТОЛЬКО-ТО КГ В день И Т.П.. Но спрос сам по себе, в своей динамике, не есть величина постоянная и существенно меняется в течение суток. К примеру, на большинство товаров ночью спрос минимальный, а днём может иметь один, или несколько "пиков". Сигареты берут в основном утром (идя на работу) и вечером (идя домой). На услуги транспорта - картина аналогичная (это "часы пик"). Продуктами "затариваются" на рынке - утром, а в магазинах - вечером, и т.п.. Поэтому и встаёт вопрос об оптимизации рабочего дня продавца (с почасовой оплатой труда). Действительно, явно убыточно вешать на магазине метку: "24h", если на его продукцию имеется пиковый спрос, и явно не доберёшь прибыли, если спрос на товар круглосуточный (в аэропортах), а рабочий день ограничить. И ещё один момент. Зависимость спроса: η от цены: х на товар (в первом приближении) примем экспоненциального вида: n = N*Exp(-x/a), где: N - пропорционально количеству покупателей, а: а - пропорционально их "желанию" (читай, прибыльности) приобрести товар. Например, на пляже в жаркий день потребление: "соки-воды" растёт (с ростом температуры), за счёт обоих факторов: растут и: а - "желание" пить, равно и возрастает: N - количество потребляемой жидкости. Если зависимость спроса от цены иная, то на логике и итогах моделирования это не скажется. Единственное, что следует отметить, что в принципе, если: a = a(t), т.е. если "желание" народа в отношении некоторого товара меняется в течение дня (напитки в жаркий летний день), то и цена на такой товар должна меняться. Но традиции массовой торговли подобных "нарушений прав потребителя" (а, возможно, даже и нарушений прав самого "Человека") - не приемлют... Введём следующие обозначения:P(t) - функция плотности распределения спроса на сутки. По определению этой плотности, спрос: η на товар на интервале времени: {Τι ... Т2} будет равен интегралу по времени на этом интервале, и определяется по формуле: n = jN»Exp[-x(t)/a(t)]»P(t)»dt;
s - себестоимость единицы товара;
C - почасовая ставка оплаты труда продавца;
Q - прибыль магазина;
Ti, T2- время начала и окончания работы магазина. По определению: 0(Т2 - Ti) - дневная зарплата продавца.
Как можно показать, прибыль магазина: Q = jN»[x(t) - s]*Exp[-x(t)/a(t)]»P(t)»dt - 0(Т2 - Τι), где интеграл берётся в пределах времени работы магазина. Рассматривая Q, как функционал от: x(t), имеем условие для максимума функционала: 3F/3x = 0. (здесь: F - подынтегральное выражение). Выполнив дифференцирование, и решая, получим: x(t) = s + a(t), откуда для общей прибыли: Q = JN»a(t)»Exp[-1 - s/a(t)]*P(t)*dt - 0(Т2 - Τι). Как видим, оптимальная цена прямо связана с потребительной стоимостью товара: a(t), т.е. должна меняется со временем. Дифференцируя: Q по: Ti и T2, и, приравняв производные к нулю, получим два уравнения для вычисления величин: Ti: 3Q/3Ti ξ -N*a(Ti)*Exp[-1 - s/a(Ti)]»P(Ti) + C = 0, аналогично, и для T2: 3Q/3T2 ξ N»a(T2)»Exp[-1 - s/a(T2)]*P(T2) -C = 0. Какими бы "страшными", или "непонятными" ни выглядели эти уравнения, их "физический смысл" в том, что начинать (Ti) и заканчивать (T2) торговлю нужно в те моменты роста и падения спроса, когда торговая прибыль становится равной ставке оплаты труда продавца, имеется в виду, что скорость роста-падения прибыли (деньги в единицу времени) сравняется с оплатой труда (это тоже деньги в единицу времени).
Итог тривиальный и интуитивно ясный, но почему им не пользуются хозяева, а заставляют несчастных продавцов торчать в полупустых (не от товаров, а от покупателей) магазинах? А В качестве примера рассмотрим торговлю напитками на том же пляже, но торговлю не ту, которая есть реально, а ту, которая должна приносить продавцам напитков максимальную прибыль. Положим также, что народ ничего (из напитков) из дома не приносит, а покупает их |
по мере надобности. Пусть хозяин не поленился и заставил продавцов фиксировать число покупок, например, каждый час, или воспользовался камерой видео наблюдения. После чего он дал эту информацию о спросе экономисту школы Пола Самуэльсона, и последний выдал за умеренную цену "на гора" график дневного спроса на напитки, например, как на Рис. 2.34.
C - почасовая ставка оплаты труда продавца хозяину известна; N - количество проданной жидкости тоже; оптимальную цену он знает: x(t) = s + a(t). Поэтому, без помощи экономистов, проведя горизонтальную линию на уровне: C/N оси ординат, хозяин определит режим продаж. При высоком уровне почасовой оплаты труда продавца: С, или при низком уровне общих продаж: N, становится выгодным делить рабочий день на две части (график справа), а при низкой оплате труда: C - нужен непрерывный рабочий день (слева). Это доказательство и того, почему низкооплачиваемые работники трудятся дольше: так выгодно хозяевам, а не потому, что при низкой оплате они вынуждены дольше работать, чтобы кормиться. Если хозяевам выгодно (интерес прибыли), то и при низкой оплате рабочий день будет сокращён.
C водой ясно, а как торговать хлебом? Пусть некоторый хлебный магазин знает средний спрос на хлеб, и даже знает средний спрос по дням недели. Но знание среднего отнюдь не гарантия реализации этого среднего значения именно сегодня. Поэтому встаёт вопрос о том, сколько надо завозить хлеба ежедневно, чтобы иметь наибольшую прибыль от продаж? Действительно, если завезёшь мало, то разойдётся всё, а прибыли не доберёшь, а завезёшь много - надо куда-то реализовать чёрствую продукцию (полагаем, что все хозяева из мотивов престижа вчерашний хлеб не продают), а это: или недобор прибыли, или же прямые убытки.
Должно быть некоторое оптимальное количество хлеба. Введём следующие обозначения:Р(т) - функция плотности распределения спроса за сутки. Ясно, что это закон Пуассона, и: P(m) = А^Ехр^А)/^!). Здесь: т - количество буханок хлеба, реально проданного за сутки; λ - уже известное среднее значение продаж за эти сутки; Р(т) - это вероятность продать точно: m буханок хлеба. Среднее квадратичное отклонение для этого закона: σ = (λ)05.
F(m) - интегральная функция распределения спроса. F(m) = IP(k), где суммирование по к идёт в пределах: 0 < к < т.
η - привезенное с утра количество буханок хлеба в этот день (привоз одноразовый);
C - чистая прибыль от продажи одной буханки;
S - себестоимость одной буханки для магазина (закупочная цена);
о - продажная цена одной буханки чёрствого хлеба (на его утилизацию). Очевидно: σ < S (утилизатор, чтобы тоже иметь прибыль, должен скупать хлеб по цене ниже закупочной).
Для упрощения расчётов примем аппроксимацию дискретного распределения: Р(т) и F(m) - некоторым его непрерывным аналогом, например, тем же нормальным законом Гаусса.
Итак, пусть вы привезли: к буханок хлеба, а реализация за этот день составила: х буханок. Для случая: х < к (хлеб к концу дня остался) прибыль составит: qi = х»С - (k - x)»(S - σ). Здесь 1-е слагаемое: х»С - собственно прибыль от реализации: х буханок, а 2-е вычитаемое: (k - x)»(S - σ) - убытки необходимой утилизации чёрствого хлеба. Интегрируя: qi с "весом": P(x)»dx в пределах: {0... к} мы получим среднюю прибыль магазина для случая, когда к концу дня весь хлеб не распродан: Qi = (С + S - a)rfx»P(x)»dx - (S - a)»k»F(k).
Для случая: к < х (всё распродано ещё до конца дня) ваша прибыль составит: q2 = Ok, и, интегрируя: q2 с "весом": P(x)»dx в пределах: [к...«), получим среднюю прибыль уже для того случая, когда хлеб распродан до конца дня: Q2 = Ok»[1 - F(k)]. Окончательно, суммарная ваша прибыль составит: Q(k) = Qi + Q2 ξ (С + S - σ)·[ J x»P(x)»dx - k»F(k)] + Ok.
Выражение для лрибыли:0(к) имеет максимум по: к, который находим стандартными методами анализа. Решая, получим уравнение для определения оптимальной закупки хлеба: F(k) = С/(С + S - σ). Как отмечалось, параметры функции распределения: F(k) следующие: λ - среднее значение, и: (λ)05 - среднее квадратичное отклонение. Поэтому, проведя аппроксимацию нормальным законом распределения: Ф(к), окончательно имеем уравнение: Ф[(к - А)/(А)05] = С/(С + S - σ), откуда следует, что закупка равна среднему значению только при одном условии: (C = S- σ), или, когда ожидаемая прибыль равна разности закупочной и "сдаточной" цен соответственно свежего и чёрствого хлеба. В остальных случаях будут иметь место отклонения. Примеры.Пусть: S = 10, C = 4, о = 1, а A = 400, тогда уравнение будет: Ф[(к - 400)/20] « 0.31, и из таблиц имеем: (к - 400)/20 « -0.21, откуда оптимальная закупка составит: к « 396.
Ещё пусть: S = 2, C = 4, о = 1, а A = 400, тогда уравнение будет уже: Ф[(к - 400)/20] « 0.80, и из таблиц находим: (к - 400)/20 « 0.79, откуда оптимальная закупка уже выше: к « 416.
Как видим, при прочих равных условиях, чем ниже закупочная цена: S, тем больше (сверх среднего потребления) можно закупать хлеба, но колебания уровня закупок не более: ± 5%. Однако, при работе в "оптимальной точке" падение прибыли от случайных колебаний спроса будет минимальным, точнее, величиной 2-го порядка малости от уровня этих колебаний. Как можно показать, среднее относительное падение прибыли от колебаний спроса можно найти по формуле: |АС/С| ® [2/(ττ·λ)]05, что для приведенных примеров составит: |АС/С| ® 4.00%.
2.29.