Модель "патриархального" хозяйства
у одного богатого человека был хороший урожай в поле
(12:16 От Луки)
посеянное на каменистых местах означает того
(13:20 От Матфея) но оказалось, что этого было недостаточно
(21:14 Судьи)
посеяно, всходит и становится больше
(4:32 От Марка) четыре части останутся вам (47:24 Бытие) патриарх дал десятину (7:4 К Евреям)
Под патриархальным хозяйством будем понимать общество людей, заселивших некий, но ограниченный по площади ареал, и живущих сельским хозяйством.
Плодородие почв разное, и люди сначала возделывают наиболее плодородные участки, а, по мере роста населения, вынужденно переходят к менее плодородным почвам (полагаем, что внешней торговли нет и нет прогресса в улучшении плодородия почв, - плодородие постоянно). Введём обозначения:Sm - максимальная площадь сельскохозяйственных угодий ареала (например, в гектарах);
Мм - максимально возможный урожай со всех угодий ареала (например, в тоннах);
От - максимальное плодородие почвы данного ареала (плодородие оценивается по одной культуре, и измеряется, например, в тоннах с гектара, т.е. в натуральном виде);
σ - минимальное плодородие почвы, задействованное в сельском хозяйстве (о = 0 значит, что задействованы все пригодные к возделыванию почвы, а σ => 1 значит, что возделывают почвы только максимального плодородия);
т = σ/ом - безразмерный параметр.
Предположим также, что чем ниже плодородие почвы, тем больше её количество в ареале. В 1-м приближении плотность распределения плодородия можно принять логарифмической, т.е.: Ρ(σ) = 1/СТм*1-П(ам/а). В этом случае площадь угодий в интервале плодородия: {σ; σ + da} будет: ds = SM*P(a)*da ξ SM/aM*Ln(aM/a)*da. Как видим, чем ниже плодородие, тем больше в заданном интервале изменения площадь угодий, что и отвечает принятому предположению.
Проинтегрировав ds в интервале изменения плодородия почвы: {а...ам}, получим реальную площадь продуктивных угодий: S/Sm = 1/Sm·/ ds ξ J 1/aM*Ln(aivi/a)*da = 1 - τ + τ·Ln(T).
А для получения полной массы сельскохозяйственной продукции необходимо в том же интервале проинтегрировать выражение o*ds ξ o»SM/OM*Ln(OM/o)»do. После несложных преобразований получим: M =|o»ds ξ Jо*5м/ом*Еп(Ом/о)»6о = 0.25»Sm*om[1 -t2 + 2·τ2·ίη(τ)]. При: т = 0, получим соотношение для максимальной производительности ареала: Mm = (5Μ·σΜ)/4, следовательно, по отношению к максимуму реальный урожай будет: М/Мм = 1 - т2 + 2·τ2·Ι_η(τ).Теперь запишем основное уравнение рыночного спроса: m = Ν·Εχρ(-Χ/Α), где обозначено:
X - цена единицы продукции;
N - максимальный спрос на продукцию при нулевой цене (тонн в единицу времени);
m - реальный спрос на продукцию (тонн в единицу времени) при цене = X;
А - прибыль покупателя от потребления той же единицы продукции.
Прибыль от реализации: Q = Ν·(Χ - с)»Ехр(-Х/А), где: с - себестоимость продукции. Ясно, что на почвах с их максимальным плодородием себестоимость продукции минимальна: См. Выразим параметры этих уравнений через параметры земельного общества.
Максимальный спрос на продукцию: N - пропорционален количеству населения, которое, в свою очередь, (при постоянном и стабильном уровне потребления каждого) пропорционально
 |
Себестоимость продукции: с, при прочих равных условиях, в первом приближении обратно пропорциональна плодородию почвы: σ и индивидуальна для производителей. Запишем её как: с = λ/σ. В формуле для прибыли рынка Q должна быть средняя себестоимость с, а её можно найти интегрированием себестоимости s, "взвешенной" по элементу площади: ds. Получим: с = (J c*ds)/(J ds) ξ (J (A/o)»SM*P(o)»do)/(J SM*P(o)»do) = (А/Ом)*І-П2(т)/[1 - т + τ·Ι_η(τ)]. При: τ => 1, (когда возделываются только лучшие почвы) себестоимость минимальна и равна: с = См.
Для предела средней себестоимости при: т => 1, имеем: Lim (с)т=>1 = 2*(А/ом) ξ См, и для параметра: А получим: А = (CMeaM)/2. В итоге имеем: с = (См/2)*Еп2(т)/[1 - т + τ·ίη(τ)]. Итак, для рыночной прибыли Q от реализации сельскохозяйственной продукции имеем следующее выражение: Q(X, т) ~ [1 - T2 + 2·τ2·ίη(τ)]·{Χ - (См/2)»1_п2(т)/[1 - т + τ·ίη(τ)]}·Εχρ(-Χ/Α). Если в качестве денежной единицы принять: Cm и обозначить соответственно: х = Х/См и а = А/См, то получим: Q(x, т) ~ [1 - т2 + 2·τ2·ίη(τ)]·{χ - 0.5·Ι_η2(τ)/[1 - т + T*Ln(T)]}*Exp(-x/a). Здесь сделаем ряд замечаний относительно соотношения параметров. Совершенно очевидно, что: 1 < х < а. это означает, что цена должна быть выше себестоимости: (х > 1), чтобы производитель имел прибыль, а также прибыль покупателя от потребления должна превышать цену: (а > х), чтобы покупатель-потребитель не вымер от диссипации энергии. Следовательно, величину: (а - 1) мы можем считать производительностью общественного труда. При: а = 1, - наше общество в день сколько производит, столько же и потребляет, и жизнь, как таковая не возможна.Функция Q(x, т) имеет экстремум, который можно найти стандартными методами анализа. Дифференцируя по х, приравняв производную к нулю, получим выражение для оптимальной рыночной цены: X0 = а + 0.5·Ι_η2(τ)/[1 - т + TiLn(T)], а, проделав те же операции с функцией, но по переменной: т, получим уравнение по определению оптимального: т0. Вот оно, во всей его "простоте": 8*а*т02*[1 - т0 + T0iLn(T0)]2 = [1 - т02 + τ02·ίη(τ02)]·{2·[1 - T0 + T0iLn(T0)] - T0iLn2(T0)).
Выше, на Рис. 2.29 приведены графики оптимальных параметров патриархального рынка:
a) зависимость прибыли: Q, как функции количества населения (относительно максимально возможного его уровня): п, для различных значений производительности труда: а;
b) зависимость цен х, как функции количества населения: п, для различных значений: а;
c-d) оптимальные значения параметров: т0 и п, как функций производительности труда: а.
2.29.