2.16. Модель рынка товаров с "гарантией"
Разумный доставляет пользу себе самому
(22:2 Иов)
и... дано им только на время и на срок
(7:12 Даниил) а пользуется тем чужой человек (6:2 Екклесиаст) И возвратил Господь потерю
(42:10 Иов) есть еще время до срока (11:35 Даниил) узрит...
долговечное (53:10 Исаия)Вышеприведенные модели просты для понимания, но им присущ один недостаток. Они справедливы для товаров одноразового потребления, таких как энергоресурсы, транспорт, продукты питания, зрелища и пр. В этом случае купленная потребительная стоимость - а реализуется достаточно быстро в её одноразовом потреблении. Если приобретается товар длительного пользования, то его потребление растянуто во времени и прибыль покупателя от эксплуатации товара растёт пропорционально времени: a»t и, если такой товар досрочно выйдет из строя, то покупатель потерпит убытки. У каждого товара есть естественное время жизни - T при некоторой его средней интенсивности эксплуатации, и на это среднее время жизни ориентируется покупатель. Поэтому первое уравнение для потребительной стоимости: а товара будет: а = α·Τ. На такие товары производитель обычно даёт гарантию, выраженную во времени — t, в течение которого вышедший из строя товар меняют. Обозначим отношение времени гарантии к естественному времени жизни товара у его потребителя: у = t/T. Нашей задачей будет найти оптимальный гарантийный срок, при котором прибыль продавца будет максимальной. Действительно, если производитель не даёт гарантии, то товар длительного пользования не купят из-за риска приобретения заводского брака, и прибыли у продавца не будет. Если же срок гарантии очень большой, то практически все товары со временем будут заменены, и прибыль продавца тоже нулевая. Чтобы составить формулу для оптимизации, введём ещё параметр - р, вероятность возврата товара покупателем. Если все бракованные товары возвращаются, то: р = 1.
Обозначим также через: q = (1 - р) вероятность, что даже бракованный товар не будет возвращён. Как известно из теории вероятностей, а, точнее, из теории Марковских процессов, вероятность выхода из строя товара за время -1 при среднем его времени жизни - T будет: P = 1 - Ехр(-у). При этом производителю покупатели возвратят на замену: р»Р-ю часть его продукции. Из заменённых товаров: часть: ρ·Ρ вновь "не доживёт" до гарантийного срока, заменится, и т.д.. C учётом исходного объёма товара, который примем условно за единицу, окончательно производителю надо будет продать и вернуть уже больше товара: 1 + ρ·Ρ + (ρ·Ρ)2 + (ρ·Ρ)3 + ... = 1/(1 - ρ·Ρ) = 1/[q + р»Ехр(-у)]. А это переносится на его, товара, итоговую себестоимость в сторону только её возрастания.Теперь рассмотрим ключевой момент: выгоду покупателя от возврата бракованного товара. Пусть товар вышел из строя до гарантийного срока в момент: т < t и был заменён. В этом случае покупатель "на шару" получил прибыль: α·τ. У такого события плотность его вероятности: а*т*Ехр(-т/Т)/Т*с1т. Интегрируя дифференциальную плотность по интервалу гарантии: {0 ... t}, получим выражение прибыли покупателя: f(y) = α·Τ·[1 -(1+ у)»Ехр(-у)]. Это его реальная прибыль от поломки товара и замены его до истечения гарантийного срока. Здесь особо следует отметить, что при малых значениях гарантийного срока: (у « 0) средняя прибыль растёт не линейно, как интуитивно полагают многие, а квадратично: f(y) « 0.5»a»T»y2 и на этом-то и построена вся спекулятивная прибыль продавца на гарантии, естественно, не в пользу покупателя, но за счёт покупателя, точнее, за счёт повышения цены товара.
Покупатель, наивный в математике, он-то по умолчанию полагает, что время "дармового" пользования товаром пропорционально его гарантийному сроку, т.е. он полагает: f(y) « a»T»y и на этом всегда крупно "пролетает", поскольку из цены товара он мысленно отнимает своё ошибочное: f(y) и на этом основании принимает решение о покупке и "удешевлении" товара.
Покупатель, который владеет арифметикой на уровне Маркса, или нобелевских лауреатов, чувствуя вообще некий подвох в системе гарантии, склонен брать при расчёте своей средней прибыли от гарантии всего половину гарантийного срока: f(y) = 0.5»а»Т*у, но и здесь он тоже "пролетает", но "пролетает" не так крупно. Покажем это на графике и расчётами. В принятых обозначениях выражение для прибыли - Q производителя при цене товара - х, и при его себестоимости - s будет определяться по очевидному из предыдущей модели соотношению: Q ~ {х - s/[q + p»Exp(-y)]}»Exp{[f(y) - х]/а}. Если перейти к безразмерным параметрам: X = х/а, F = f/a и λ = s/a, и предположить самый тяжёлый случай, когда весь брак возвращается, т.е.
 |
Рассмотрим грамотного покупателя, который знает истинный (квадратичный) вид функции гарантийной прибыли. Дифференцируя выражение для: Q по переменным X и у, и приравняв производные нулю, он получит систему двух уравнений, из которой оптимальные параметры цены и гарантийного срока товара со стороны их выбора производителем определяются, увы, неоднозначно: X = 1 + А*Ехр(у), и Х»у = А»Ехр(у)»[у + Ехр(у)].
Исключив X, для величины гарантийного срока из этой системы имеем: у»Ехр(-2»у) = А. Решение этого уравнения приведено на Рис. 2.16 (справа). При: λ > 0.5·Εχρ(-1) = 0.1839 оно не имеет решений, и при: А < 0.1839 имеет 2 корня: yi и у2 (уі < у2). Это значит, что гарантию можно начинать вводить только при себестоимости товара ниже определённого порога, при: s < 0.1839»а. Наличие 2-х корней (неоднозначность), говорит о возможных вариантах выбора гарантии продавцом. Но выбора у продавца нет, ибо правильным его решением будет корень: у = у2. Действительно, когда себестоимость: S = O "интуиция" рынка подсказывает, что можно повышать гарантийный срок, а корень: у = yi этой "интуиции" противоречит, ибо при: S = O одновременно: А => 0 и yi => 0.
Как известно из предыдущих результатов моделирования, при отсутствии гарантии оптимальная цена товара: х = a + s, или же в безразмерных переменных: (X = 1 + А). На Рис. 2.16 (слева) в виде графика приведено решение системы уравнений оптимизации для прироста цены товара над его безгарантийной величиной: (X - 1 - А). Серая линия соответствует корню yi, а тёмная - корню у2. Наличие предела цены: X - 1 - А < 0.2603 при: А = 0.08 говорит о наличии некоторого "физического" верхнего предела для нормальной рыночной цены товара, вне зависимости от манипуляций продавцов с их гарантиями и даже с их монополией. В этой точке гарантийный срок на товар: у2 = 1.448, т.е. он почти в полтора раза выше среднего времени его нормальной эксплуатационной жизни. Никакая современная экономическая школа о наличии объективного верхнего предела цен даже не догадывается. Да, цены в современном нам мире непрерывно растут, и вроде бы границ такого роста в ближайшем для нас будущем не просматривается. Но это всего лишь относительный рост цен по отношению к дешевеющим деньгам. И феномен удешевления денег и вечного, но всё же относительного, роста цен и скрыл от исследователей многие реальные экономические феномены ценовой стабильности относительно потребительной стоимости товара.На Рис. 2.16 (внизу) приведены графики прибыли рынка в зависимости от цены товара для различных: λ (вертикальный масштаб различный). Как видим (справа-внизу светлая линия), при: λ = 0 гарантийный срок бесконечен, цена товара равна потребительной стоимости его со стороны покупателя: (х = а; X = 1) и прибыль рынка максимальна. При нулевом гарантийном сроке (тёмная линия) и той же самой цене, прибыль рынка падает в: « 2.72 раза. Слева-внизу приведены те же графики, но для ненулевых значений λ, о которых говорилось выше.
А теперь покажем, как и в чём "пролетают" покупатели, которые считают свой выигрыш от гарантии пропорциональным гарантийному сроку. Пусть у покупателей: F = г|»у.
При: η = 1 имеем наивных покупателей, а при: η = 0.5 - покупателей, которые давно "интересовались" алгеброй. Подставляя значение F в уравнение прибыли, получим при полном возврате брака: (р = 1) систему: X = 1 + Л»Ехр(у), и X = А*Ехр(у) + Л/іуЕхр(у). Откуда для гарантийного срока уже однозначно имеем: у = Ι_π(η/λ), а для цены: X = 1 + η Для прибыли продавца - это выражение: Q = Εχρ[η·Ι_η(η/λ) - η - 1]. Как видим, при низкой себестоимости товара: (λ ~ 0) продавец может неограниченно увеличивать гарантию, цена товара растёт пропорционально линейной наивности покупателя: η и прибыль рынка растёт почти как Гамма-функция от этой наивности... Однако если продавец понадеется на наивность покупателей и выдаст на товар гарантию и цену, соответствующую таким наивным покупателям, а наши покупатели окажутся грамотными, то в некотором смысле может "пролететь" и продавец, пока не поймёт свою ошибку. На Рис. 2.16-1 (слева) даны графики прибыли рынка, как функции цены товара при известном продавцу уровне наивности. Чёрной линией дан график прибыли рынка от абсолютно недоверчивого покупателя, который на гарантию вообще не обращает внимания: (η = 0). Напомню, что при гарантии, цену продавец устанавливает без учёта себестоимости. Светло-серой линией приведен график для осторожных покупателей, которые только чуть- чуть, но учитывают гарантийный срок: (η = 0.1). В этом случае прибыль рынка будет ниже номинальной, и осторожные покупатели даже выигрывают в своей доле прибыли. В остальных случаях всегда в выигрыше рынок. На рисунке справа показана прибыль рынка от покупателей с разной степенью доверия к гарантии. Например, продавец считает, что у его покупателей: η = 0.3 и заявляет цену: X = 1 + η = 1.3. Если при принятии решения покупки покупатель будет исходить из значения: η < 0.2, то он всегда немного выиграет (светлая |
Но и такая модель имеет недостаток.
В ней я не учитывал цену самих денег. Что имеется в виду. Когда товаропроизводитель покупает средства производства, то он авансирует на их покупку деньги, деньги, которые можно положить на депозит и получать с них проценты. Если цикл производства большой, например, в сельском хозяйстве порядка года, в судостроении и того больше, то потери от недополучения по депозиту могут быть значительными. Именно поэтому многие "работают с колёс". К примеру, в строительстве составляется сетевой график стройки, поставки средств производства идут по графику и оплата - по мере поступления. В этом случае "мёртвое время" для денег сводится к нулю и проблем не возникает. Точно такие проблемы и у покупателя. Купив товар, он теряет не только деньги, но и проценты с этих денег. Если гарантийный срок "жизни" товара большой, то покупатель сможет взять с товаравсю его потребительную стоимость - а, на которую он рассчитывал, но он при этом "не доберёт" своей чисто денежной прибыли от потери затраченных денег на его покупку.
Итак, пусть годовая процентная ставка по депозиту - [%], время цикла от производства до продажи товара равно т, и пусть депозит растёт линейно со временем, т.е. пусть нет "сложных процентов". Как нетрудно показать, потребительная стоимость товара - а для покупателя снизится до величины: а/(1 + [%]·Τ), а прибыль продавца вырастет, ввиду того, что разность между ценой и себестоимостью он может положить на депозит. Маркс это называл скрытым капиталом или сокровищем. Значит прибыль производителя - Q вырастет до значения: Q*(1 + [%]·τ). C учётом сказанного, уравнение для оптимизации прибыли будет: Q ~ {X - A/[q + р*Ехр(-у)]}*(1 + [%]*T)*Exp[F - χ·(1 + [%]·Τ)]. Напомню, что поскольку процент по депозиту начисляется из расчёта за год, то и все параметры в уравнении, имеющие размерность времени, берутся по отношению к году, а величина [%] берётся не в процентах, а в относительных единицах: [%] « 1. Поскольку в общий множитель: (1 + [%]*т) параметры оптимизации: (X и у) не входят, и если принять: р = 1, то уравнение запишется более просто: Q ~ [X - A»Exp(y)]»Exp[F - Χ·(1 + [%]·Τ)]. Оптимизацию подобного уравнения я предоставляю математически грамотному читателю, при наличии у него соответствующего... желания.
И ещё замечание. Гарантия на товары длительного пользования тесно связана с качеством товара, точнее, со средним временем его работы до выхода из строя. Чем дольше работает (точнее, эксплуатируется-потребляется) купленная вещь, тем больше прибыли она приносит пользователю, и тем больше её потребительная стоимость для пользователя. Но чем больше служит вещь, и чем реже она ломается, тем ниже спрос на такие вещи на рынке. Получается некий парадокс: покупатель, он хочет иметь вещи длительного пользования, а производитель заинтересован (в пределе) производить "одноразовые" товары. Там, где имеют место быть противоположные интересы должна быть и точка равновесия, приводящая к минимальным потерям сторон, или к их максимальной выгоде. Посмотрим, существует ли оптимальное качество (или среднее время жизни) товара, дающее максимальную прибыль производителю.
Сначала некоторые феноменологические соображения. Ясно, что чем качественнее товар, тем выше его себестоимость. На изготовление "фирмы" идут более дорогие материалы, да и идёт больше рабочего времени, чем на "китайскую штамповку". Интуитивно ясно, что время жизни товара и его себестоимость связаны нелинейно, точнее, к примеру, для продления срока жизни вещи в 2 раза иногда нужно затратить в 3-5 раз больше средств, чем обычно, в противном случае, когда относительный прирост добавочных затрат меньше относительного прироста срока жизни, возникает некое парадоксальное явление: с относительным падением себестоимости вещи... растёт её качество. Пусть зависимость себестоимости товара: s от его среднего времени жизни: T имеет вид: s = So*q>(T). Рассмотрим (и тоже феноменологически), свойства функции: φ(Τ). По "физическому смыслу": So - это затраты на сырьё, из которого изготавливается товар. Действительно, если брать только сырьё, то мы получим некий псевдо товар с нулевым временем жизни, т.е. товар, вышедший из строя уже в момент: T = O. Отсюда следует и свойство функции: (T). Кроме этого, функция: β·Εχρ(1), вышеуказанное уравнение имеет два корня: Ti < То < Тг. Но исследовать эти решения нет смысла, ввиду требования минимального значения для: А, которому соответствует: То = 1/β.