§ 3. Задание вероятностных мер на измеримых пространствах.

3.1. Измеримое пространство (R¹,B(R¹)).

Пусть F: R¹[0,1] - измеримая функция, обладающая свойствами:

1) неубывающая;

2) F(-)=0 F()=1, где F(-)= и F()=;

3) непрерывна справа и имеет предел слева в каждой точке R¹.

Определение. Всякая функция F(x), удовлетворяющая свойствам 1)- 3) называется функцией распределения на R¹ .

Теорема 3. Пусть - функция распределения на R¹, тогда на (R¹, B(R¹)) существует и притом единственная вероятностная мера Р такая, что для любых , причем , Р

Пример: пусть функция распределения имеет вид:

=

Соответствующую ей меру называют мерой Лебега отрезка и обозначают Λ, причем Λ

Приведем классификацию мер на (R¹, B (R¹)).

3.1.1. Дискретные меры.

Пусть - функция распределения кусочно-постоянна и меняет свои значения в точках х₁,х₂, …, причем где Ясно, что соответствующая этой функции распределения вероятностная мера Р сосредоточена в точках х₁,х₂, …, причем Р.

Набор чисел где - называется дискретным распределением.

Примеры дискретных распределений содержатся в приведенной ниже таблице.

Распределение		Параметры
1. Дискретное равномерное
2. Бернулли		- вероятность успеха,
3. Биноминальное		,
4. Пуассоновское Пк	Пk
5. Геометрическое =
6. Отрицательное биноминальное

3.1.2. Абсолютно непрерывные меры.

Пусть существует неотрицательная функция такая, что функция распределения допускает представление:

Функцию () называют плотностью функции распределения .

Пример: Функцию , называют гауссовской плотностью. Легко убедиться в том, что

3.1.3. Сингулярные распределения.

Определение. Точка называется точкой роста функции распределения, если для любого .

Определение. Сингулярными мерами называются меры, функции распределения которых непрерывны, причем точки роста, которые образуют множество нулевой меры Лебега.

Пример. Возьмем отрезок и построим на нем сингулярную функцию распределения с помощью приема, принадлежащего Кантору Г. Пусть F_o – функция распределения, соответствующая мере Лебега на отрезке [0,1].Разделим на 3 равные части и определим - функцию распределения следующим образом: = 0, при x < 0; = x, при x [0,); = , при x [,); = x – , при x [,1); = 1, при x > 1.

= 0, при x < 0; = x, при x [0,); = при x[,];= x - , при x [,];= при x[,);= x – 1, при x [,);= при x[,);= x - , при x[,1].

Продолжая этот процесс далее мы построим последовательность функции распределения , которая, очевидно, сходится при к некоторой неубывающей непрерывной функции распределения .

Пусть - множество точек роста функции распределения, тогда из последнего рассуждения следует, что (в этих случаях говорят, что мера, соответствующая этой функции распределения сингулярна по отношению к мере Лебега ).

Теорема 4.(Лебега) Любая функции распределения на прямой R¹ представима в виде:

,

где и , а - дискретная, - абсолютно непрерывная, - сингулярная функции распределения.

3.2. Измеримое пространство (Rⁿ ,B(Rⁿ)).

Пусть - измеримая функция, непрерывная справа (по совокупности измененных), имеющая левый предел. Введем оператор , действующей по правилу

.

Определение. Всякая непрерывная справа функция удовлетворяющая условиям:

1) для любых , i = ;

2) ;

3) , если хотя бы одна из координат n-мерного вектора принимает значение ,

называется -мерной функцией распределения.

Очевидно следующее утверждение.

Теорема 5. Пусть - -мерная функция распределения. Тогда на (Rⁿ,B(Rⁿ)) существует единственная вероятностная мера Р такая, что , где , .

Примеры. 1) Пусть

=

мерная функция распределения вероятностей, которой соответствует мера Лебега на .

2) ,где

.

3.3. Измеримое пространство (R,B(R))

Обозначим через R:(), где Rⁿ – цилиндрическое множество в с основанием B(Rⁿ). Пусть последовательность вероятностных мер определенных, соответственно, на (R¹ , B(R¹)), (R² , B(R²)), обладает следующим свойством:

(1)

где , .

Условие (1) называют условием (свойством) согласованности.

Теорема 5. (Колмогорова о продолжении вероятностной меры на (R, B(R)). Пусть - последовательность вероятностных мер, соответственно, на (R¹, B(R¹)), (R², B(R²)), обладающая свойством согласованности. Тогда существует единственная мера Р на (R, B(R)) такая, что для каждого PPдля .

3.4. Измеримое пространство (R^Т , B(R^Т))

Пусть Т=[0,T] – произвольное множество индексов R_t - числовая прямая, соответствующая индексу . Рассмотрим произвольный конечный неупорядоченный набор различных индексов , и пусть P_t - вероятностная мера на (R,B(R)), где R= RR.

Определение. Будем говорить, что семейство вероятностных мер (- пробегает множество всех конечных неупорядоченных наборов), является согласованным, если а) для любых двух наборов и причем , выполняется равенство

,

где , б) выполнено (1).

Теорема 6. (Колмогорова о продолжении вероятностной меры на

(R^Т ,B(R^Т))). Пусть - согласованное семейство вероятностных мер на (R,B(R)). Тогда существует единственная вероятностная мера Р на (R^Т ,B(R^Т)) такая, что для всех неупорядоченных наборов различных индексов и B(R).