§4. Уравнения Колмогорова МПШ.
4.1. Выше приведенная классификация МПШ основана на идее линеаризации соотношения Чепмена–Колмогорова, состоящей в том, что на вероятности перехода накладываются условия, которые позволяют перейти от (нелинейного) соотношения Чепмена-Колмогорова для вероятностей перехода к линейным интегро-дифференциальным уравнениям относительно этих переходных вероятностей.
В данном параграфе мы приведем общие соображения о способе получения этих уравнений.4.2. Пусть 
- класс функций, таких, что для 
и 
существуют пределы:
(11)
(12)
Очевидно, что 
для - линейный оператор, а 
- линейное подпространство 
. Положим 
Пусть
,тогда для левой производной по 
функции 
справедливы равенства:
(13)
Поэтому из (12) и (13) следует, что
(14)
Если 
, где 
то 
и 
удовлетворяет уравнению
(15)
Уравнения (14) и (15) называются обычно обратными уравнениями Колмогорова.
4.3.
Аналогичные рассуждения применимы и к семейству
. Пусть 
- множество мер на 
и
, а 
- подмножество мер, таких, что существуют пределы для любого 
и
:
Положим 
Если 
такое, что
, тогда существует 
. Отсюда следует, что
Стало быть,
и удовлетворяет уравнению:
(16)
Уравнение (16) называется прямым уравнением Колмогорова.
Дальнейшие исследования связаны с решением следующих проблем:
i) какова структура операторов 
и 
,
ii) ii) при выполнении каких условий уравнения Колмогорова имеют единственное решение.