§14 Случайные меры и мультивариантные точечные процессы.
14.1. Пусть 
- m - вариантный точечный процесс, a
, 
- считающие процессы, где 
.
Пример. Пусть 
- случайный процесс определённый соотношением 
- пуассоновский случайный процесс с интенсивностью 
. Ясно, что процесс 
принимает два значения {-1, 1}, причём время пребывания в состоянии -1 или в состоянии 1 распределены экспонен-циально с параметром 
. Этот процесс имеет кусочно-постояные траектории и непрерывен справа, поэтому он опционален. Через 
обозначим число попаданий в состояние 1(-1) за время t процессом . Очевидно, что если 
для 
, то можно построить следующим образом:
,
.
Ясно также, что с помощью 
и 
можно описать процесс
,
так как 
. Легко показать, что для 
справедливо представление
,
причем 
- ограниченные мартингалы (относительно меры Р) 
для 
.
Приведённый выше пример служит основой для дальнейших построений.
14.2. Перейдем теперь к построению целочисленной случайной меры k - вариантного точечного процесса и её компенсатора.
В предыдущих параграфах мы установили связь между скачко-образными и мультивариантными точечными процессами. Итак, пусть - скачкообразный опциональный случайный процесс со значениями в Е, причём 
. В соответствии с результатами параграфа 13 для процесса 
определена целочисленная случайная мера 
, где 
- последовательность марковских моментов, исчерпывающая скачки процесса , 
.
это опциональный неубывающий процесс, т. е. 
при t ? s. Стало быть, 
является субмартингалом и по теореме Дуба-Мейера существует компенсатор 
, т. е. 
является мартингалом относительно потока 
и меры Р. Предположим дополнительно, что имеет неслучайную матрицу интенсивности перехода 
. Тогда в силу теоремы 35 
допускает представление: 
. (9)
Обозначим 
- число переходов процесс из состояния j в состояние i за время t. Ясно, что его можно представить в виде:
.
Найдём компенсатор 
- случайной меры . Сначала заметим, что
.
Отсюда, в силу (9), имеем:
. (16)
Заметим: 1) для Р - п. н.
;
2) так как 
- ограниченный предсказуемый процесс, то
стохастический интеграл 
является мартингалом. Поэтому процесс 
является компенсатором - целочисленной случайной меры относительно меры P. Очевидно, что
Dxt = xt - xt- = 
. Учитывая, что траектория процесса кусочно-постоянна, получаем, 
. Поэтому
.
Таким образом, доказано утверждение.
Теорема 47. Пусть 
опциональный процесс с кусочно-постоянными траекториями, конечным или счетным множеством состояний Е и матрицей интенсивности переходов 
размера - 
. Тогда справедливы следующие утверждения:
1) целочисленная случайная мера 
допускает представление 
,
где - последовательность марковских моментов (опциональных), исчерпывающая скачки процесса ;
2) компенсатор 
целочисленной случайной меры имеет вид
;
3) процесс допускает представление
.
14.3. Замечание. В общем случае, если - опциональный скачкообразный процесс с кусочно-постоянными траекториями, со значениями в 
, как легко показать, допускает представление
xt = x0 + 
,
где 
.