§7 Процессы с независимыми приращениями.

7.1. Пусть E - линейное пространство, а -s-алгебра борелевских множеств на нем. Через, где, обозначим "параллельный" сдвиг множества B на вектор x, точнее: .

Пусть семейство вероятностных мер на удовлетворяющих условиям:

i) - -измеримая функция по x для ;

ii) если , то справедливо равенство

(38)

Очевидно следующее равенство

(39)

Действительно. Если , то равенство (39) очевидно. Стало быть, (39) справедливо для простых функций, поэтому, в силу теоремы о монотонной сходимости, равенство (39) остается справедливым для любой измеримой ограниченной функции. Из (38) следует равенство

(40)

Из (39) следует, что если положить , то - будет вероятностью перехода, которая обладает свойством пространственной однородности, т.е. для Очевидно, что верно обратное утверждение, если переходная вероятность обладает свойством пространственной однородности, то

7.2.

(41)

причем где - переходная вероятность.

Определение. МПШ со значениями в линейном измеримом пространстве (E,E) называется процессом с независимыми приращениями, если для N, t_k Î R⁺, t₁