§ 3 Мартингалы, супермартингалы, субмартингалы.
3.1. Пусть (
,
,
,Р) – стохастический базис, последовательность {
- согласована с потоком , и принимает значения в 
.
Определение. Последовательность (
,
)t>1 называется мартингалом, если: 1) 
, 2) 
Если выполнено 1) и 
Р -п. н., то последовательность (,)t>0 называется супермартингалом.
Если выполнено 1) и 
Р - п. н., то последовательность (,)t>0 называется субмартингалом.
Пример. Пусть 
, где 
независимые в совокупности случайные величины.
, 
. Ясно, что 
=
=+
+ 
+
.
Отсюда следует, что:
а) (,)t>1- мартингал, если 
для любого t;
б) (,)t>1- супермартингал, если 
для любого t;
в) (,)t>1- субмартингал, если 
для любого t;
Утверждение 5.
Если (,)t>0– марковская случайная последовательность с переходной вероятностью P(s,
,t,B), то P(s, 
t,B) – мартингал для 
, относительно потока 
алгебр 
и меры Р. Доказательство. Из соотношения Чепмена – Колмогорова имеем Р-п. н. при 
:
M(P(u, 
,t,B)|
)=M(P(u, ,t,B)| 
) = 
.
3.2. Теорема 6 (Дуба). Пусть (,)t>0 – неотрицательный супермартингал, тогда с вероятностью 1 существует 
.
Замечания. 1) Покажем, что предложения о неотрицательности супермартингала (,)t>0 можно отказаться.
М
, т.е. в среднем последовательность 
- убывает. Пусть 
Образуем новую последовательность 
. Понятно, что 
.Тогда 
, значит любой супермартингал представим в виде разности двух неотрицательных супермартингалов. 2) Если 
- супермартингал, то 
- субмартингал. Поэтому утверждение теоремы 6 верно и для субмартингалов.
3.2.1 Доказательство теоремы Дуба опирается на две вспомогательные леммы.
Пусть 
числовая последовательность, a0– неотрицательный супермартингал, тогда М
.
Доказательство. В силу леммы 7 имеем неравенство:
.
Так как (,)t>0 - супермартингал, то М(
) ≤ 0. Отсюда следует неравенство
.
3.2.2. Доказательство теоремы 6. Предположим, что у последовательности 
не существует конечного предела. Через В обозначим множество 
не имеет конечного предела}. Наше предположение выполнено, если:
1) 
Р - п. н.,
2) 
Р - п. н.
Обозначим: А
}, C=
}. Очевидно, что 
, поэтому 
. Значит для доказательства теоремы достаточно доказать, что Р(А) =0 и Р(С)=0.
Покажем, что Р(А)=0. В силу неравенства Чебышева и леммы Фату имеем Р(
. Устремляя теперь 
, получаем Р(А)=0.
Теперь докажем, что Р(С)=0.
Заметим, что
, где 
и 
- рациональные числа}=
=
.
Рассмотрим вероятность Р(
N) в силу неравенства Чебышева и леммы 8 мы имеем:
Р(
N)
.
Устремляя теперь 
, получаем неравенство 
Р(
N)
. Отсюда следует, что Р(
, т.е.Р(С)=0. Доказательство закончено.
3.3. Определение. Мартингал 
называется равномерно интегрируемым, если 
.
Теорема 9. Пусть равномерно интегрируемый мартингал, тогда Р -п.н. существует случайная величина 
такая, что:
а) = 
Р - п. н.,
б) 
М|-
Р - п. н.
Доказательство этой теоремы следует из теоремы 6.