Глава 5. Марковские процессы в широком смысле.
Введение.
В основе понятия марковского случайного процесса лежит идея отсутствия последействия. Поясним это. Представим себе динамическую систему, все возможные состояния которой лежат в 
.
обозначим ее состояние в момент времени 
и предположим, что мы имеем возможность наблюдать ее состояние в любой момент времени t. Через 
обозначим наблюдаемую траекторию системы до момента времени t. Через 
и 
обозначим, состояние системы в момент времени 
зависящее от всей ее траектории до момента времени t и от ее состояния 
в момент времени t, соответственно. Если для любых 
справедливо равенство 
, то в этом случае говорят, что у системы отсутствует последствие. В этой главе мы приводим теорию случайных процессов с непрерывным временем, у которых отсутствует последействие.
§1. Переходные вероятности. Определение марковского процесса.
1.1. Пусть имеется стохастический базис 
. Пусть на стохастическом базисе задан случайный процесс 
со значениями в 
, где 
– польское пространство.
Определение. Случайный процесс 
называется марковским, если для 
, Р – п.н.
(1)
для любого 
.
Замечание. В силу теоремы Бореля для каждого 
существуют:
а) измеримый функционал
, обозначаемый через 
, такой, что 
, следовательно 
Р – п.н.
б) измеримая функция
, обозначаемая через 
, такая, что 
, следовательно 
Р – п.н.
причем, в силу (1) Р – п.н. 
, т.е. 
Р – п.н.
1.2. Пусть
– измеримое пространство, Е – польское (полное сепарабельное метрическое) пространство, 
.
Определение.
Пусть
, обозначаемая
, такая, что 
и 1) 
- при фиксированных 
– мера;
2) 
- при фиксированных 
– измеримая (по Борелю) функция.
Тогда называется переходной вероятностью, или вероятностью перехода.
Гипотеза H1. Существует семейство переходных вероятностей 
для марковского процесса со значениями в
, такое, что Р – п.н. для любого 
(2)
Определение. Если - марковский процесс со значениями в 
и выполнено (2), то мы будем говорить, что задан марковский процесс с семейством переходных вероятностей .
Предложение 1. Пусть - марковский процесс с семейством переходных вероятностей .Тогда при 
справедливо
(3)
где , ((3) называют уравнением Колмогорова–Чепмена).
Доказательство. Доказательство утверждения предложения 1 проводится аналогично доказательству теоремы 1 гл. 2, поэтому его не приводим.
Соглашение H2: Пусть 
Определение. Марковским процессом в широком смысле (МПШ) называется такой процесс, что:
i) принимает значения в;
ii) – семейство его переходных вероятностей;
iii) выполнены гипотеза Н1 и соглашение Н2.
1.3. Закон входа МПШ. Пусть 
и 
, где - марковский процесс в широком смысле, тогда, в силу его марковского свойства, имеем:
. (4)
Равенство (4) называется законом входа для МПШ.