§8 Локальная абсолютная непрерывность вероятных мер. Теорема Гирсанова.
8.1. Пусть на фильтрованном измеримом пространстве 
заданы две вероятностные меры 
и Р.
и 
сужение вероятностных мер и Р, соответственно, на 
. Обозначим 
.
Определение. Мера 
называется локально абсолютно непрерывной относительно меры Р (обозначаем 
), если 
для каждого n.
Определение. Мера называется локально эквивалентной мере Р (обозначаем 
), если 
для каждого n, т.е. и 
для каждого 
.
Обозначим через 
- производную Радона - Никодима, которую мы будем называть локальной плотностью.
не следует 
. Теорема 35. Пусть 
- локальная плотность меры относительно меры Р. Тогда - мартингал относительно меры Р.
Доказательство. Пусть 
, имеем 
Отсюда в силу произвольности А получаем, что Р - п. н. для 
. Доказательство закончено.
Следствие 36. Если - равномерно интегрируемый неотрицательный мартингал, то существует 
- измеримая неотрицательная случайная величина 
такая, что 
и 
Р - п. н. (Это утверждение вытекает из теоремы 6).
2.8.2. Теорема 37 (Гирсанов). Пусть 
- локальный мартингал относительно меры Р, а - локальная плотность меры относительно меры Р.
и для любого 
Р - п. н. Тогда относительно меры последовательность 
определяемая соотношением
является локальным мартингалом.
Доказательство. Пусть 
-измеримая случайная величина. Тогда Р - п. н. справедливо равенство
. (21)
Действительно. Пусть 
- любая 
измеримая ограниченная случайная величина. Тогда, с одной стороны, имеем
(22)
С другой стороны
(23)
Из (23) и (22) в силу произвольности получаем (21). Далее, в силу (21), имеем Р - п. н.
Значит 
является мартингал-разностью относительно меры . Доказательство закончено.